机试学习笔记07 -- 斐波那契数列、素数判定、素数筛选、二分快速幂、分解素因数、常见数学公式总结、规律神器OEIS、高精度问题

一、斐波那契数列

注意90项大概就会超出int范围
如果项数太大取模的话，可以参考之前的做法。

如果给你一个数列：a(1) = 1， a(n+1) = 1 + 1/a(n)。
那么它的通项公式为：a(n) = fib(n+1) / fib(n)。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int f[10005] = {0};
int main(){int n;cin >> n;f[0] = 1, f[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++i){f[i] = f[i-1] + f[i-2];f[i] = f[i] % 2333333;}cout << f[n] << endl;return 0;
}

二、素数判定

注意两点：首先，小于2的数都不是素数。其次，只用判断到根号n即可。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;bool sushu(int n){bool flag = 0;if(n == 1) return 0; //1不是素数 else{for(int i = 2; i <= sqrt(n); ++i){if(n % i == 0) return 0; }return 1;}
}
int main(){int n;cin >> n;for(int i = n; ;++i){if(sushu(i) == 1){cout << i << endl;break;}}return 0;
}

三、素数筛选

用以上方法挨个判断，只能处理10000以内的数。
如下方法是线性复杂度

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;//线性素数筛选，prime[0]是素数个数const int maxn = 1000000 + 5;
int prime[maxn];
void getPrime() {  memset(prime, 0, sizeof(prime));  for (int  i = 2; i <= maxn; i++) {  if (!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;  for (int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] * i <= maxn; j++) {  prime[prime[j] * i] = 1;  if (i % prime[j] == 0) break;  }  }
}  int main(){getPrime();int a, b;while(cin >> a >> b){if(a > b) swap(a, b);int ans = 0;for(int i = 1; i <= prime[0]; ++i){if(prime[i] >= a && prime[i] < b){ans++;}}cout << ans << endl;}return 0;
}

四、分解素因数

前提：素因数的分解是唯一的！
1000000的素数完全够了，如果有两个素因子都大于1000000，那么这个数会大于1000000000000，超出int范围，所以数顶多只有一个超过1000000，那么只要最后当剩下一个大素因子时，把ans++即可。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;//线性素数筛选，prime[0]是素数个数,prime中其他元素是所有素数 const int maxn = 1000000 + 5;
int prime[maxn];
void getPrime() {  memset(prime, 0, sizeof(prime));  for (int  i = 2; i <= maxn; i++) {  if (!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;  for (int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] * i <= maxn; j++) {  prime[prime[j] * i] = 1;  if (i % prime[j] == 0) break;  }  }
}  int main(){getPrime();int n;while(cin >> n){int ans = 0;for(int i = 1; i <= prime[0]; ++i){while(n % prime[i] == 0){n = n / prime[i];ans++;}if(n == 1) break;}if(n > 1) ans++; //对于大于1000000的素因子，不可能两个都大于，这样会超过范围 cout << ans << endl;} return 0;
}

五、二分快速幂

有一类题目是这样的
求 (x^y) % p
当y很大的时候，我们不能直接用for去一个一个的乘，因为这样的方法复杂度是O(N)的。
可以把y分解，分解成1+2+4+8…这样翻倍。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long int ll;ll mod_pow(ll x, ll y, ll mod){ll res = 1;while(y > 0){//只有当该位为1时，去乘此时的x if(y % 2 == 1) res = res * x % mod;x = x * x % mod;y = y / 2;}res = res % mod;return res;
}int main(){ll x, n;cin >> x >> n;cout << mod_pow(x, n, 233333) << endl;return 0;
}

如果x大，y也大，两步走，先大数取模，再二分快速幂。

六、常见数学公式总结

1 错排公式

问题：十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？
递推公式为：D(n) = (n - 1) * [D(n - 1) + D(n - 2)]
n=1时，0种；n=2时，1种；n=3时，2种。

2 海伦公式

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
公式描述：公式中a，b，c分别为三角形三边长，p为半周长，S为三角形的面积。

3 组合数公式

公式描述：
组合数公式是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

4 卡特兰数

七、规律神器OEIS

http://oeis.org/

八、高精度问题

1 Python解法

Python没有大数

while True:try:a, b = map(int, input().split())c = a + bprint(c)except:break

2 Java解法

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;  public class Main {  public static void main(String[] args) {  Scanner sr=new Scanner(System.in);  while (sr.hasNext()) {  BigInteger a,b;  a=sr.nextBigInteger();  b=sr.nextBigInteger();  System.out.println(a.add(b));  }  }
}

3 C、C++解法

第一步：倒转来，倒着存才好存。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;char a[1005];
char b[1005];
char c[1005];int _max(int x, int y){if(x > y) return x;else return y;
}int main(){char s1[1005], s2[1005];while(cin >> s1 >> s2){for(int i = 0; i < 1005; ++i){a[i] = b[i] = c[i] = '\0';}int la = strlen(s1);int lb = strlen(s2);for(int i = 0; i <= la-1; ++i){a[i] = s1[la - i -1];}for(int i = 0; i <= lb-1; ++i){b[i] = s2[lb - i -1];}int carry = 0;int i;int lc = _max(la, lb);for(i = 0; i < lc; ++i){int sum = a[i] - '0' + b[i] - '0' + carry;carry = sum / 10;c[i] = sum % 10 + '0';}if(carry != 0){c[i] = carry + '0';lc++;}for(int j = lc-1; j >= 0; --j){cout << c[j];}cout << endl;}return 0;
}