在现代计算机中，补码主要用来表示整数(数值整数)，CPU在补码的基础上实现加法运算，减法也通过加法来实现(Intel x86的CPU中，都有加法器和乘法器，用加法器实现减法，用乘法器实现除法；当然，某些高级CPU还可能会有更先进的计算部件，一个指令直接进行\(\sin\)和\(\cos\)等计算)。本文总结补码相关知识。

先说说模运算(mod)：

模可以理解为一个正数，一个上界。在模运算系统中，若A,B,M满足这个关系：\(A=B+K \times M\)，K为整数，则记为：\(A \equiv B \pmod M\)。即A,B各除以M后的余数相同，故称B和A为模M同余。也就是说在一个模运算系统中，一个数与它除以模后得到的余数是等价的(这里没有考虑负数)。时钟系统，就是最典型的模运算系统，模是12或24。

补码跟模运算啥关系：

假设现在钟表时间是10点，要将它拨到6点，有两种拨法：

1， 倒拨4个小时；

2， 顺拨8个小时；

所以，在模12系统中，\(10-4 \pmod {12} \equiv 10+8 \pmod {12}\)

上式也可以写为：\(-4 \equiv 8 \pmod {12}\)

于是，我们可以说，8是-4对模12的补码。

结论：对于某一个确定的模，某数A减去小于模的另一个数B，可以用A加上(-B)的补码来代替！

这就是为什么补码可以借助加法运算实现减法运算的道理。

补码的定义

1， 正数的补码就是它本身；

2， 负数的补码等于模与该负数绝对值之差。

(如果计算之后还是负数，继续迭代，比如：\(-7 \pmod 3 \equiv 2\))

因此，某一个数的补码，不管它是正是负，其补码都是正数！

在计算机中，一般情况下，一个整数由\(n=32\)bit位来表示，正好有符号整数在现代计算机中基本都使用补码来表示。对于有符号的整数，第一位是符号位，那么，有符号整数的模就是\(2^n\)。(n-1个bit的有效数据，模就是2的n次方)

我们定义：

1， 对于n为有符号整数定点整数(小数点在最右边)，补码为：

\([X_T]_{补}=(X_T+2^n) \pmod {2^n}\)

\((-2^n \le X_T \lt 2^n)\)

2， 定点小数(小数点在最左边)，补码为：

\([X_T]_{补}=(X_T+2) \pmod {2}\)

\((-1 \le X_T \lt 1)\)

从上面定义可以很容易的看出，有效位全0时的补码表示的是负的最小值，因此对于8bit的有符号数，表示范围是-128到127.

补码0的表示是唯一的，机器数表示，不管是定点整数，还是定点小数，都是全0。这样带来了两个好处：

1， 0的表示唯一，减少了+0和-0之间的转换；

2， 少占用一个编码表示，使补码比原码能多表示一个最小负数。

补码的计算

可以通过定义证明补码在计算机中的计算规则：对于正数，符号位是0，补码就是其本身，无需计算；对于负数，符号位保持1，其余各位由真值的数值部分“各位取反，末尾加1”得到。

计算机来做取反很easy，再加上1，就能的负数的补码，因此，可以很容易地将减法转换成加法运算。(如果用原码表示负数，计算过程就会复杂许多)

反过来看看，如果从补码来反算出真值：

对于正数，补码的数值部分不做改变，跟原码一样，直接就能得到真值；

对于负数，将计算补码的过程反过来，将补码数值部分减1，然后再各位取反，符号位保持1。

再看看如何从\([X_T]_{补}\)求出\([-X_T]_{补}\)：

还是“各位取反，末尾加1”，但是这次要连通符号位一起取反。

需要注意的是：最小负数取负后的补码表示是不存在的，如果对最小负数取负数，结果会溢出。

关于溢出(overflow)

确定位数的两个数的计算结果，有可能无法在同样的位数范围内表示出来，这时就发生了溢出。溢出的发生是因为产生了进位，而计算机由于存储限制，进位会被丢弃。

有的时候，这种丢弃是允许的，比如两个相同符号数相减，或者两个异号数相加。这时的溢出，恰好就是模运算，最后得到的结果正确。前面说到，如果对最小负数取负，结果会溢出，机器数的结果是没有变化。程序员需要特别注意。

有的计算机采用一种双符号位的补码表示，成为变形补码，也称为模4补码。在这种补码系统中，左符号是真正的符号位，右符号用来判别溢出。

无符号编码

有符号整数在计算机内，使用补码表示，因为这样减法和转换成加法，加快CPU的计算；

无符号整数在计算机内，有一种说法，使用无符号编码表示，其实就是原码表示，简单直接。

C语言中，要特别注意有符号数和无符号数混合运算的情况，系统会默认将有符号数也当成无符号数来对待，计算结果也是无符号数。

无符号编码在计算时，也会有溢出。