原码/补码的加减运算and溢出判断

小数点的处理：
任意一个二进制数S都可以表示为

研究小数点就要研究阶码E的取值：

若E=0，则表示纯小数——代表定点小数；
例0.1111表示+0.1111，1.1111表示-0.1111。
若E=n，则表示纯正数——代表定点正数；
例01111表示+1111，11111表示-1111。
E=m,且0<m<n,小数点在中间n个数内浮动——代表浮点数。

定点数的运算：

1、运算中，采用补码来表示定点数。

补码表示定点整数时，和原码、反码相比的优点
符号位可以跟数值位一起参加运算
可以用加法方便的实现减法运算
0的表示是唯一的
可以多表示一个最小负数

2、定点数的移位运算
当某二进制数相当于小数点做n位左移或者右移，相当于该数乘以或者除以2^n。
由于机器数的字长都是固定的，当机器数左移或者右移时，都会造成n位低位或者n位高位出现空缺。

逻辑移位(无符号数)

逻辑移位的规则
左移	高位移丢，低位补0
右移	低位移丢，高位添0

算术移位

当机器数为正

例：设机器字长为8，A=+26
A=+26=+11010
[A]原=[A]补=[A]反=0，0011010

移位操作	机器数	真值
移位前	0，0011010	+26
左移一位	0，0110100	+52
左移两位	0，1101000	+104
右移一位	0，0001101	+13
右移两位	0，0000110	+6

当机器数为正，三码相等，左移右移都补0 。

当机器数为负

例：设机器字长为8，A=-26
[A]原=1，0011010
[A]补=1，1100110
[A]反=1，1100101

移码操作	机器数	真值
移位前	1，0011010	-26
左移一位	1，0110100	-52
右移一位	1，0001101	-13

原码——左移右移补0。

移码操作	机器数	真值
移位前	1，1100110	-26
左移一位	1，1001100	-52
右移一位	1，1110011	-13

补码——左移补0，右移添1。

移码操作	机器数	真值
移位前	1，1100101	-26
左移一位	1，1001011	-52
右移一位	1，1110010	-13

反码——左移右移都添1。

定点数的加/减运算

1、原码

加法规则：先判断符号位，若相同，绝对值相加，结果符号位不变；若不同，则做减法，绝对值大的数减去绝对值小的数，结果与绝对值大的数相同。(同号求和，异号求差)
减法规则：两个原码表示的数相减，首先将减数的符号取反，然后将被减数与符号取反后的减数按原码加法进行运算。(同号求差，异号求和)

例：[x]原=0.1101，[y]原=1.1001，求[x+y]原、[x-y]原？
[x+y]原:
符号位不同，做减法：
[-y]原=0.0111

最高数值位产生进位，所在数值位 .0100,再加上第一操作数的符号0

[x-y]原:
减数的符号取反，

因为数值最高位产生进位，结果正上溢。

2、补码

补码加法
两个数的补码相加，符号位参加运算，且两数和的补码等于两数的补码之和。

例：x=+0.1011,y=-0.1001,求[x+y]补？
[x]补=0.1011 [y]补=1.0111
则：[x+y]补=0.1011+1.0111=0.0010(符号位进位舍去)
即：[x+y]补=0.0010，真值为：+0.0010。

补码减法
由于运算器仅有加法器，则：

例：已知[x]补=0.0010，[y]补=1.1010，求[x-y]补？
[y]补=1.1010，则[-y]补=0.0110
则[x-y]补=0.0010+0.0110=0.1000。

3、特殊的情况——溢出(补码)

码制	范围
原码	-127~127
补码	-128~127
反码	-127~127

溢出产生的原因：当两(小)数相加大于(1或)上界127，称为上溢或者正溢出，两(小)数相加小于(-1或)下界-128，称为下溢或负溢出。
发生溢出，数值位扩充，数值位“跑“到符号位，然后取代符号位。导致”两正数相加等于负数，两负数相加等于正数“。
计算机判断溢出的方法
①单符号——两符号相同的运算，运算结果符号相反的为溢出。

发生溢出的情况
加法：符号相同的两数相加
减法：符号不同的两数相减

②双符号法(变形补码法)——检测正负溢出
特点：

两位符号位要联同数值部分一起参加运算。
高位符号位产生的进位直接丢弃。

原则：

当两位符号位不同时，表示溢出。
高位符号位永远代表真正的符号位。

正溢出
例：已知[x]补=00.1011，[y]补=00.0111，求[x+y]补=？

负溢出：
例：已知[x]补=11.0101，[y]补=11.1001，求[x+y]补=？

③当两个单符号：
当两个单符号位补码进行加减运算时，若最高数值号位向符号位的进位值C与符号位产生的进位输出值S相同，则没有溢出发生；如果两个进位值不同，则发生溢出。
判断公式：C⊕S

例：已知[x]补=1.0101，[y]补=1.1001，求[x+y]补=？

例：已知[x]补=1.1000，[y]补=1.1000，求[x+y]补=？

《计算机组成原理》——唐朔飞

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