模型预测控制器(MPC)系列: 3.车辆横向MPC控制中的前馈设计
车辆横向MPC控制中的前馈设计
该小节旨在通过设计控制律中的前馈项,解决上一节中MPC控制器无法达到零稳态横向误差的问题.
前馈信号基本形式
已知,从第一节得到的车辆横向动力学方程为
x˙=Ax+Bδ+Bcψ˙des\dot{x} = Ax + B\delta + B_c\dot{\psi}_{des} x˙=Ax+Bδ+Bcψ˙des
假设,系统已有一状态反馈控制器,其控制率为
δ=−Kxx\delta = -K_xx δ=−Kxx
将以上控制律代入车辆横向动力学模型,则有
x˙=(A−BKx)x+Bcψ˙des\dot{x} = (A-BK_x)x + B_c\dot{\psi}_{des} x˙=(A−BKx)x+Bcψ˙des
对闭环系统方程进行分析, (A−BKx)≺0(A-BK_x) \prec 0(A−BKx)≺0 ,系统稳定,状态量 xxx 收敛.但是因 Bcψ˙desB_c\dot{\psi}_{des}Bcψ˙des 项的存在,状态量 xxx 并不一定收敛于 0 ,即 xss=limt→∞x(t)≠0x_{ss} = \lim_{t \to \infty} x(t) \neq 0xss=limt→∞x(t)=0
那么,我们是否可以通过在控制律中加入一个前馈项,使稳态状态量 xxx 收敛于 0 呢? 因此, 我们尝试把控制律改写为
δ=−Kxx+δff\delta = -K_xx + \delta_{ff} δ=−Kxx+δff
代入原动力学模型,可得新的闭环系统方程为
x˙=(A−BKx)X+Bδff+Bcψ˙des\dot{x} = (A-BK_x)X + B\delta_{ff} + B_c\dot{\psi}_{des} x˙=(A−BKx)X+Bδff+Bcψ˙des
接下来,对闭环系统稳态状态进行分析.为了简化问题, 我们针对稳态作出以下假设
1.车辆重心在 FLU坐标下的 x方向(车前进方向)速度保持恒定,即 Vx:=Constant2.车辆转弯半径 R保持不变,即 R:=Constant3.由(1),(2)可得, 车辆重心力量横向角加速度保持恒定3)ψ˙des=Vx2R:=Constant4.前馈项保持恒定,即 δff:=Constant5.初始状态量 x0=0\begin{aligned} &\text{1.车辆重心在 $FLU$ 坐标下的 $x$ 方向(车前进方向)速度保持恒定,即 $V_x := Constant$}\\ &\text{2.车辆转弯半径 $R$ 保持不变,即 $R := Constant$} \\ &\text{3.由(1),(2)可得, 车辆重心力量横向角加速度保持恒定} \\ &\qquad 3) \ \dot{\psi}_{des} = \frac{V_x^2}{R} := Constant \\ &\text{4.前馈项保持恒定,即 $\delta_{ff} := Constant$}\\ &\text{5.初始状态量 $x_0 = 0$} \end{aligned} 1.车辆重心在 FLU 坐标下的 x 方向(车前进方向)速度保持恒定,即 Vx:=Constant2.车辆转弯半径 R 保持不变,即 R:=Constant3.由(1),(2)可得, 车辆重心力量横向角加速度保持恒定3) ψ˙des=RVx2:=Constant4.前馈项保持恒定,即 δff:=Constant5.初始状态量 x0=0
基于上述假设, 对闭环系统方程进行拉普拉斯变换,可得
sX(s)=(A−BKx)X(s)+Bδff1s+Bcψ˙des1s\begin{aligned} sX(s) &= (A-BK_x)X(s) + B\delta_{ff}\frac{1}{s} + B_c\dot{\psi}_{des}\frac{1}{s}\\ \end{aligned} sX(s)=(A−BKx)X(s)+Bδffs1+Bcψ˙dess1
进一步的
X(s)=(sI−A+BKx)−1[Bδff+Bcψ˙des]1sX(s) = (sI - A + BK_x)^{-1}[B\delta_{ff} + B_c\dot{\psi}_{des}]\frac{1}{s}\\ X(s)=(sI−A+BKx)−1[Bδff+Bcψ˙des]s1
由终值定理可得
xss=limt→∞x(t)=lims→0sX(s)=(−A+BKx)−1[Bδff+Bcψ˙des]\begin{aligned} x_{ss} &= \lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{s \to 0}sX(s) \\ &= (- A + BK_x)^{-1}[B\delta_{ff} + B_c\dot{\psi}_{des}] \end{aligned} xss=t→∞limx(t)=s→0limsX(s)=(−A+BKx)−1[Bδff+Bcψ˙des]
令稳态误差为 0 ,反推前馈项 δff\delta_{ff}δff 的形式, 则有
xss=(−A+BKx)−1[Bδff+Bcψ˙des]=0\begin{aligned} x_{ss} = (- A + BK_x)^{-1}[B\delta_{ff} + B_c\dot{\psi}_{des}] = 0 \end{aligned} xss=(−A+BKx)−1[Bδff+Bcψ˙des]=0
将在第一节中得到的横向动力学模型中的系数矩阵代入上式
[ess1e˙ss1ess2e˙ss2]={[0−10002(Cαf+Cαr)mVx−2(Cαf+Cαr)m2(Cαflf−Cαrlr)mVx000−102(Cαflf−Cαrlr)IzVx−2(Cαflf−Cαrlr)Iz2(Cαflf2+Cαrlr2)IzVx]+[02Cαfm02CαflfIz][kx1kx2kx3kx4]}−1{[02Cαfm02CαflfIz]δff+[02(−Cαflf+Cαrlr)mVx−Vx0−2(Cαflf2+Cαrlr2)IzVx]ψ˙des}\begin{bmatrix} e_{ss1} \\ \dot{e}_{ss1} \\ e_{ss2} \\ \dot{e}_{ss2} \\ \end{bmatrix}= \left\{ \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2(C_{\alpha_f}+C_{\alpha_r})}{mV_x} & \frac{-2(C_{\alpha_f}+C_{\alpha_r})}{m} & \frac{2(C_{\alpha_f}l_f-C_{\alpha_r}l_r)}{mV_x}\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & \frac{2(C_{\alpha_f}l_f-C_{\alpha_r}l_r)}{I_zV_x} & \frac{-2(C_{\alpha_f}l_f-C_{\alpha_r}l_r)}{I_z} & \frac{2(C_{\alpha_f}l^2_f+C_{\alpha_r}l^2_r)}{I_zV_x} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{2C_{\alpha_f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2C_{\alpha_f}l_f}{I_z} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{x1} & k_{x2} & k_{x3} & k_{x4} \end{bmatrix} \right\} ^ {-1} \left \{ \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{2C_{\alpha_f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2C_{\alpha_f}l_f}{I_z} \\ \end{bmatrix}\delta_{ff}+ \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{2(-C_{\alpha_f}l_f+C_{\alpha_r}l_r)}{mV_x}-V_x \\ 0 \\ \frac{-2(C_{\alpha_f}l^2_f+C_{\alpha_r}l^2_r)}{I_zV_x} \\ \end{bmatrix} \dot{\psi}_{des} \right \} ⎣⎢⎢⎡ess1e˙ss1ess2e˙ss2⎦⎥⎥⎤=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎣⎢⎢⎢⎡0000−1mVx2(Cαf+Cαr)0IzVx2(Cαflf−Cαrlr)0m−2(Cαf+Cαr)0Iz−2(Cαflf−Cαrlr)0mVx2(Cαflf−Cαrlr)−1IzVx2(Cαflf2+Cαrlr2)⎦⎥⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎡0m2Cαf0Iz2Cαflf⎦⎥⎥⎥⎤[kx1kx2kx3kx4]⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫−1⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎣⎢⎢⎢⎡0m2Cαf0Iz2Cαflf⎦⎥⎥⎥⎤δff+⎣⎢⎢⎢⎡0mVx2(−Cαflf+Cαrlr)−Vx0IzVx−2(Cαflf2+Cαrlr2)⎦⎥⎥⎥⎤ψ˙des⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫
经过一系列的矩阵运算可得
[ess1e˙ss1ess2e˙ss2]=[δffkx1−mv2kx1R(lf+lr)(lr2Cαf+(kx3−1)lf2Cαr)−1kx1R(lf+(1−kx3)lr)0−lrR+mv2RLlf2Cαr0]\begin{bmatrix} e_{ss1} \\ \dot{e}_{ss1} \\ e_{ss2} \\ \dot{e}_{ss2} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{\delta_{ff}}{k_{x1}} - \frac{mv^2}{k_{x1}R(l_f+l_r)}(\frac{l_r}{2C_{\alpha_f}}+(k_{x3}-1)\frac{l_f}{2C_{\alpha_r}})-\frac{1}{k_{x1}R}(l_f + (1-k_{x3})l_r) \\ 0 \\ -\frac{l_r}{R} + \frac{mv^2}{RL}\frac{l_f}{2C_{\alpha_r}} \\ 0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡ess1e˙ss1ess2e˙ss2⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡kx1δff−kx1R(lf+lr)mv2(2Cαflr+(kx3−1)2Cαrlf)−kx1R1(lf+(1−kx3)lr)0−Rlr+RLmv22Cαrlf0⎦⎥⎥⎥⎤
观察可知,合理的前馈项 δff\delta_{ff}δff ,可使稳态横向误差 ess1e_{ss1}ess1 为 0.但前馈项无法影响到稳态航向误差 ess2e_{ss2}ess2.
为了达到零稳态横向误差,可得
δff=mv2R(lf+lr)(lr2Cαf+(kx3−1)lf2Cαr)+1R(lf+(1−kx3)lr)=mv2RL(lr2Cαf+(kx3−1)lf2Cαr)+LR−lrRkx3=mv2RL(lr2Cαf−lf2Cαr)+kx3(−lrR+mv2RLlf2Cαr)+LR=mv2RL(lr2Cαf−lf2Cαr)+kx3ess2+LR=v2R(mlr2CαfL−mlf2CαrL)+kx3ess2+LR\begin{aligned} \delta_{ff} &= \frac{mv^2}{R(l_f+l_r)}(\frac{l_r}{2C_{\alpha_f}}+(k_{x3}-1)\frac{l_f}{2C_{\alpha_r}})+\frac{1}{R}(l_f + (1-k_{x3})l_r)\\ &= \frac{mv^2}{RL}(\frac{l_r}{2C_{\alpha_f}}+(k_{x3}-1)\frac{l_f}{2C_{\alpha_r}})+\frac{L}{R} - \frac{l_r}{R}k_{x3}\\ &= \frac{mv^2}{RL}(\frac{l_r}{2C_{\alpha_f}}-\frac{l_f}{2C_{\alpha_r}})+k_{x3}(-\frac{l_r}{R} + \frac{mv^2}{RL}\frac{l_f}{2C_{\alpha_r}})+\frac{L}{R}\\ &= \frac{mv^2}{RL}(\frac{l_r}{2C_{\alpha_f}}-\frac{l_f}{2C_{\alpha_r}})+k_{x3}e_{ss2}+\frac{L}{R}\\ &= \frac{v^2}{R}(\frac{ml_r}{2C_{\alpha_f}L}-\frac{ml_f}{2C_{\alpha_r}L})+k_{x3}e_{ss2}+\frac{L}{R}\\ \end{aligned} δff=R(lf+lr)mv2(2Cαflr+(kx3−1)2Cαrlf)+R1(lf+(1−kx3)lr)=RLmv2(2Cαflr+(kx3−1)2Cαrlf)+RL−Rlrkx3=RLmv2(2Cαflr−2Cαrlf)+kx3(−Rlr+RLmv22Cαrlf)+RL=RLmv2(2Cαflr−2Cαrlf)+kx3ess2+RL=Rv2(2CαfLmlr−2CαrLmlf)+kx3ess2+RL
定义
kv=mlr2CαfL−mlf2CαrLk_v = \frac{ml_r}{2C_{\alpha_f}L}-\frac{ml_f}{2C_{\alpha_r}L} kv=2CαfLmlr−2CαrLmlf
则前馈项可表示为
δff=LR+kvv2R+kx3ess2\delta_{ff} = \frac{L}{R} + k_v \frac{v^2}{R} + k_{x3}e_{ss2} δff=RL+kvRv2+kx3ess2
因此，理想稳态控制量 δss\delta_{ss}δss 为
δss=−Kxxss+δff=−kx3ess2+δff=LR+kvv2R\begin{aligned} \delta_{ss} &= -K_xx_{ss} + \delta_{ff} \\ &= -k_{x3}e_{ss2} + \delta_{ff} \\ &= \frac{L}{R} + k_v \frac{v^2}{R} \end{aligned} δss=−Kxxss+δff=−kx3ess2+δff=RL+kvRv2
从这个角度上去理解,前馈项中最后一项 kx3ess2k_{x3}e_{ss2}kx3ess2 的作用就是抵消稳态状态反馈项.
求解线性MPC稳态输出项 −Kxxss-K_xx_{ss}−Kxxss
前馈推导式中仍有一未知项,即稳态航向角误差增益 kx3k_{x3}kx3.接下来,我们针对MPC问题,对其进行求解.开始之前,我们作出以下几点前提假设
1.稳态状态反馈项 −Kxxss:=−kx3ess2, 来源于上一节设计的 MPC 控制器的稳态输出2.建立 MPC 问题时, 考虑动力学方程中 Bcψ˙des项的影响3.接近稳态时,可忽略 MPC 的约束条件. 即将线性MPC简化为一个有限时域LQR问题4.在有限时域 LQR 的最终时刻 t=N时,系统达到稳态\begin{aligned} &\text{1.稳态状态反馈项 $-K_xx_{ss} := -k_{x3}e_{ss2}$, 来源于上一节设计的 MPC 控制器的稳态输出}\\ &\text{2.建立 MPC 问题时, 考虑动力学方程中 $B_c\dot{\psi}_{des}$ 项的影响} \\ &\text{3.接近稳态时,可忽略 MPC 的约束条件. 即将线性MPC简化为一个有限时域LQR问题} \\ &\text{4.在有限时域 LQR 的最终时刻 $t = N$ 时,系统达到稳态} \\ \end{aligned} 1.稳态状态反馈项 −Kxxss:=−kx3ess2, 来源于上一节设计的 MPC 控制器的稳态输出2.建立 MPC 问题时, 考虑动力学方程中 Bcψ˙des 项的影响3.接近稳态时,可忽略 MPC 的约束条件. 即将线性MPC简化为一个有限时域LQR问题4.在有限时域 LQR 的最终时刻 t=N 时,系统达到稳态
首先,定义有限时域 LQR 的价值函数为 Vt(xt)V_t(x_t)Vt(xt) ,其中 t=0,...,Nt = 0,...,Nt=0,...,N, 因此
Vt(xt)=xNTQfxN+minδt,...,δN−1∑τ=tN−1(xτTQxτ+δτTRδτ)V_t(x_t) = x_N^TQ_fx_N+\min_{\delta_t,...,\delta_{N-1}}\sum_{\tau=t}^{N-1}(x_{\tau}^TQx_{\tau}+\delta_{\tau}^TR\delta_{\tau}) Vt(xt)=xNTQfxN+δt,...,δN−1minτ=t∑N−1(xτTQxτ+δτTRδτ)
其中
1.Vt给出的是 t时刻, 有限时域LQR的最小剩余代价.2.Vt可被构造为二次型,即 Vt(xt)=xtTPtxt,Pt=PtT⪰03.VN(xN)=xNTQfxN,PN=Qf\begin{aligned} &\text{1.$V_t$给出的是 $t$ 时刻, 有限时域LQR的最小剩余代价.}\\ &\text{2.$V_t$可被构造为二次型,即 $V_t(x_t) = x_t^TP_tx_t, \ P_t = P_t^T \succeq 0$ } \\ &\text{3.$V_N(x_N) = x_N^TQ_fx_N, \ P_N = Q_f$} \end{aligned} 1.Vt给出的是 t 时刻, 有限时域LQR的最小剩余代价.2.Vt可被构造为二次型,即 Vt(xt)=xtTPtxt, Pt=PtT⪰0 3.VN(xN)=xNTQfxN, PN=Qf
下一步,我们需要问题的假设,明确MPC输出 δt\delta_tδt 的结构形式.假设,我们已知 Vt+1(xt+1)V_{t+1}(x_{t+1})Vt+1(xt+1), 需求 ttt 时刻的最优控制量 δt\delta_tδt.因此
Vt(xt)=minδt(xtTQxt+δtTRδt+Vt+1(xt+1))=xtTQxt+minδt(δtTRδt+Vt+1(Adxt+Bdδt+Bcdψ˙des))=xtTQxt+minδt(δtTRδt+(Adxt+Bdδt+Bcdψ˙des)TPt+1(Adxt+Bdδt+Bcdψ˙des))\begin{aligned} V_t(x_t) &= \min_{\delta_t}(x_t^TQx_t+\delta_t^TR\delta_t+V_{t+1}(x_{t+1}))\\ &= x_t^TQx_t+\min_{\delta_t}(\delta_t^TR\delta_t+V_{t+1}(A_dx_t + B_d\delta_t + B_{cd}\dot{\psi}_{des}))\\ &= x_t^TQx_t+\min_{\delta_t}(\delta_t^TR\delta_t+(A_dx_t + B_d\delta_t + B_{cd}\dot{\psi}_{des})^TP_{t+1}(A_dx_t + B_d\delta_t + B_{cd}\dot{\psi}_{des})) \end{aligned} Vt(xt)=δtmin(xtTQxt+δtTRδt+Vt+1(xt+1))=xtTQxt+δtmin(δtTRδt+Vt+1(Adxt+Bdδt+Bcdψ˙des))=xtTQxt+δtmin(δtTRδt+(Adxt+Bdδt+Bcdψ˙des)TPt+1(Adxt+Bdδt+Bcdψ˙des))
对上式求导可得
∂Vt∂t=2Rδt∗+2BdTPt+1(Adxt+Bdδt∗+Bcdψ˙des)=0\frac{\partial V_t}{\partial t} = 2R\delta_t^*+2B_d^TP_{t+1}(A_dx_t+B_d\delta_t^*+B_{cd}\dot{\psi}_{des}) = 0 ∂t∂Vt=2Rδt∗+2BdTPt+1(Adxt+Bdδt∗+Bcdψ˙des)=0
由此可得线性MPC输出项形式为
δt∗=−(R+BdTPt+1Bd)−1BdTPt+1(Adxt+Bcdψ˙des)=−(R+BdTPt+1Bd)−1BdTPt+1Adxt−(R+BdTPt+1Bd)−1BdTPt+1Bcdψ˙des=−Klqrxt−(R+BdTPt+1Bd)−1BdTPt+1Bcdψ˙des=−Klqrxt+ϕcomp\begin{aligned} \delta_t^* &= -(R+B_d^TP_{t+1}B_d)^{-1}B_d^TP_{t+1}(A_dx_t+B_{cd}\dot{\psi}_{des}) \\ &= -(R+B_d^TP_{t+1}B_d)^{-1}B_d^TP_{t+1}A_dx_t - (R+B_d^TP_{t+1}B_d)^{-1}B_d^TP_{t+1}B_{cd}\dot{\psi}_{des} \\ &= - K_{lqr} x_t - (R+B_d^TP_{t+1}B_d)^{-1}B_d^TP_{t+1}B_{cd}\dot{\psi}_{des} \\ &= - K_{lqr} x_t + \phi_{comp} \end{aligned} δt∗=−(R+BdTPt+1Bd)−1BdTPt+1(Adxt+Bcdψ˙des)=−(R+BdTPt+1Bd)−1BdTPt+1Adxt−(R+BdTPt+1Bd)−1BdTPt+1Bcdψ˙des=−Klqrxt−(R+BdTPt+1Bd)−1BdTPt+1Bcdψ˙des=−Klqrxt+ϕcomp
进一步的,根据前提假设4与价值函数性质3,可得MPC稳态输出为
δssmpc=δN−1=−(R+BdTPNBd)−1BdTPN(Adxss+Bcdψ˙des)=−(R+BdTQfBd)−1BdTQfAdxss−(R+BdTQf(Bd)−1BdTQfBcdψ˙des=−Klqrssxss+ϕcompss=−klqrss3ess2+ϕcompss\begin{aligned} \delta_{ss_{mpc}} = \delta_{N-1} &= -(R+B_d^TP_{N}B_d)^{-1}B_d^TP_{N}(A_dx_{ss}+B_{cd}\dot{\psi}_{des}) \\ &= -(R+B_d^TQ_fB_d)^{-1}B_d^TQ_fA_dx_{ss} - (R+B_d^TQ_f(B_d)^{-1}B_d^TQ_fB_{cd}\dot{\psi}_{des} \\ &= - K_{lqr_{ss}} x_{ss} + \phi_{comp_{ss}} \\ &= - k_{lqr_{ss3}} e_{ss2} + \phi_{comp_{ss}} \end{aligned} δssmpc=δN−1=−(R+BdTPNBd)−1BdTPN(Adxss+Bcdψ˙des)=−(R+BdTQfBd)−1BdTQfAdxss−(R+BdTQf(Bd)−1BdTQfBcdψ˙des=−Klqrssxss+ϕcompss=−klqrss3ess2+ϕcompss
为了在稳态时,得到零横向误差,需使
δss=δssmpc+δff=LR+kvv2R\delta_{ss} = \delta_{ss_{mpc}} + \delta_{ff} = \frac{L}{R} + k_v \frac{v^2}{R} δss=δssmpc+δff=RL+kvRv2
因此,最终的前馈项为
δff=LR+kvv2R+klqrss3ess2−ϕcompss\delta_{ff} = \frac{L}{R} + k_v \frac{v^2}{R} + k_{lqr_{ss3}} e_{ss2} - \phi_{comp_{ss}} δff=RL+kvRv2+klqrss3ess2−ϕcompss
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