理论

在赋范线性空间中，线性算子是有界线性算子的充要条件是它也是一个连续线性算子。

概念

小学我们是学已有运算的各种性质，大学就是通过以前学的性质来定义运算

线性空间，就是定义了加法（满足交换律，结合律，有零元和负元）和数乘（与实数做运算满足分配率和结合律）的空间
赋范线性空间，在线性空间的基础上如果我们定义范数（类似于绝对值，它满足满足0元范数为0，对数乘线性，满足三角不等式），那么这个空间我们成为赋范线性空间
算子，定义于Ω∈X\Omega \in XΩ∈X而取值于YYY的映射
线性算子，如果一个算子TTT，满足
αTx1+βTx2=(αx1+βx2)T\alpha Tx_1+\beta Tx_2=(\alpha x_1+\beta x_2)TαTx1+βTx2=(αx1+βx2)T那么就称该算子为线性算子
有界线性算子，就是存在MMM满足对于任何的xxx都有，∥Tx∥y≤M∥x∥x\|Tx\|_y \leq M\|x\|_x∥Tx∥y≤M∥x∥x则TTT就是一个有界线性算子

注意到，不是说∥TX∥\|TX\|∥TX∥是有界的，而是说，∥Tx∥y∥x∥x\frac{\|Tx\|_y}{\|x\|_x}∥x∥x∥Tx∥y是有界的

连续线性算子，简单来说，对于任意的一个ϵ\epsilonϵ，总存在一个δ\deltaδ，当x1x_1x1和x2x_2x2的距离小于δ\deltaδ的时候，∥Tx1−Tx2∥<ϵ\|Tx_1-Tx_2\|<\epsilon∥Tx1−Tx2∥<ϵ

证明

在赋范线性空间中，线性算子是有界线性算子的充要条件是它也是一个连续线性算子。
⇒\Rightarrow⇒
已知TTT是一个有界算子，那么对于Ω\OmegaΩ中的任意两个元素x1,x2x_1,x_2x1,x2，总存在MMM（并且这个MMM是不依赖x1,x2x_1,x_2x1,x2的取值的，是一个有界常数）使得∥T(x1−x2)∥y≤M∥x1−x2∥x\|T(x_1-x_2)\|_y\leq M\|x_1-x_2\|_x∥T(x1−x2)∥y≤M∥x1−x2∥x由x1,x2x_1,x_2x1,x2的任意性，他们可以任意的接近或者遥远；那么我们这里给他们一个限制，就是对于任意的δ\deltaδ，∥x1−x2∥≤δ\|x_1-x_2\|\leq \delta∥x1−x2∥≤δ，我们都有上式成立。就算我们取δ\deltaδ为ϵM\frac{\epsilon}{M}Mϵ（其中ϵ\epsilonϵ也是任意的），上式也成立。也就是说∥T(x1−x2)∥y≤M∥x1−x2∥x≤MϵM=ϵ\|T(x_1-x_2)\|_y\leq M\|x_1-x_2\|_x\leq M \frac{\epsilon}{M}=\epsilon∥T(x1−x2)∥y≤M∥x1−x2∥x≤MMϵ=ϵ这就是连续性的定义了。

我们利用了“任意”这个概念，通过将任意的元素捏成我们想要的样子来构造证明。也就是利用了从任意到存在的思想。

⇐\Leftarrow⇐
一种错误的证明方法

已知TTT一个连续算子。即对于任意ϵ\epsilonϵ，我们都有一个距离参数δ\deltaδ，这个距离参数使得任意满足∥x1−x2∥<δ\|x_1-x_2\|<\delta∥x1−x2∥<δ的元素，都会再满足∥T(x1−x2)∥<ϵ\|T(x_1-x_2)\|<\epsilon∥T(x1−x2)∥<ϵ假设满足上述条件的TTT是无界算子的话，也就是对于任意的常数MMM，我们总存在x1,x2x_1,x_2x1,x2使得∥T(x1−x2)∥>M∥x1−x2∥\|T(x_1-x_2)\|>M\|x_1-x_2\|∥T(x1−x2)∥>M∥x1−x2∥由MMM的任意性，我们取M=ϵδM=\frac{\epsilon}{\delta}M=δϵ，则有∥T(x1−x2)∥>M∥x1−x2∥=ϵ\|T(x_1-x_2)\|>M\|x_1-x_2\|=\epsilon∥T(x1−x2)∥>M∥x1−x2∥=ϵ、

原因

我们试图仿照之前的证明方式，但是这是不正确的，原因在于它的思路是固定了之前的ϵ\epsilonϵ和相应的δ(ϵ)\delta(\epsilon)δ(ϵ)（这个δ\deltaδ的取值其实是会和ϵ\epsilonϵ相关的），再这样的情况下，它定义了相关的M(ϵ,δ)M(\epsilon,\delta)M(ϵ,δ)，然后再使用无界算子的定义，得到δ(M)\delta(M)δ(M)以及相应的x1和x2x_1和x_2x1和x2，这种证明方法是不正确的，因为它改变了δ\deltaδ的依赖关系。这种方式只有当δ\deltaδ是不依赖ϵ\epsilonϵ的取值的时候才正确（正如⇒\Rightarrow⇒时，MMM对x1,x2x_1,x_2x1,x2不依赖那样）

正确的做法
已知TTT是连续算子，我们要证它是一个有界算子。
假设满足上述条件的TTT是无界算子的话，也就是对于任意的常数nnn，我们总存在xnx_nxn使得∥Txn∥>n∥xn∥\|Tx_n\|>n\|x_n\|∥Txn∥>n∥xn∥设Ω\OmegaΩ中的元素为{xi∣i=1,...,∞}\{x_i |i=1,...,\infty\}{xi∣i=1,...,∞},我们再定义Ω\OmegaΩ中的另外一系列元素为{yn=xnn⋅∥xn∥∣n=1,...,∞}\{y_n=\frac{x_n}{n\cdot\|x_n\|}|n=1,...,\infty \}{yn=n⋅∥xn∥xn∣n=1,...,∞}，不难看出∥yn∥=1n\|y_n\|=\frac{1}{n}∥yn∥=n1，也就是说，当nnn取值越来越大时，yny_nyn就会越来越小，而连续性的定义可以告诉我们，如果TTT是连续的，它对一个非常小的元素作用对应的实数也应该非常小。在这里的话，也就是对于任意的ϵ\epsilonϵ，有NNN使得当n>Nn>Nn>N时，∥Tyn∥<ϵ\|Ty_n\|<\epsilon∥Tyn∥<ϵ。
但是，∥Tyn∥=∥Txnn∥xn∥∥=∥Txn∥n∥xn∥>1\|Ty_n\|=\|T\frac{x_n}{n\|x_n\|}\|=\frac{\|Tx_n\|}{n\|x_n\|}>1∥Tyn∥=∥Tn∥xn∥xn∥=n∥xn∥∥Txn∥>1却恒成立。所以，矛盾！

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