现代控制理论课程实验三：一阶倒立摆的LQR控制器设计

一、实验目的
二、实验设备与软件
三、实验原理
- 3.1、被控对象模型及其线性化
- 3.2、时不变线性连续系统的状态反馈控制与线性二次型最优控制LQR
- 3.3、实验平台的基本原理与使用指南
四、实验内容
- 4.1、MATLAB仿真结果
- 4.2、MATLAB程序如下
- 4.2.1、判断系统的能控与能观性
- 4.2.2、求系统的极点
- 4.2.3、进行极点配置
- 4.3、线性二次型最优控制LQR求出配置极点
五、实验室运行结果
六、实验总结

一、实验目的

1、理解并掌握线性状态反馈控制的原理和方法；
2、理解并掌握LQR控制器设计方法；
3、练习控制性能比较与评估的方法。

二、实验设备与软件

实验设备

倒立摆实验台

实验软件

MATLAB软件

三、实验原理

3.1、被控对象模型及其线性化

倒立摆系统的各量含义与关系如下表和下图。
根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程，计及 u = F ，可得到

如下所示

该状态方程输入是加速度，输出是小车位置和摆杆角度。而小车的位置和摆杆角度以及它们的导数均可以通过传感器测量，所以在系统可控制的情况下，可以利用状态反馈综合控制器改善性能。

3.2、时不变线性连续系统的状态反馈控制与线性二次型最优控制LQR

对时不变线性连续系统

3.3、实验平台的基本原理与使用指南

倒立摆系统的控制结构框图如下

“Pendulum”模块内部包含三种模块，每种模块的具体功能是通过S-Function实现的，这里不做介绍。其中“Set Car’s Vcc and Vel”模块的作用是设置小车运动的速度和加速度，“Get Car’s Position”模块的作用是读取小车当前的实际位置，“Get Pend’s Angle”的作用是角度编码器读取摆杆当前摆起的实际角度，该角度顺时针为“+”，逆时针为“-” （以竖直向下的状态为起始状态，见图1）。这里需要注意的是，由于编码器所读脉冲的正负号与实际需要的数符号相瓣，所以编码器输出经过一个负的比例增益后转化为输出角度

另外，在Simulink中搭建系统模型时，需要将Inverted_Pendulum_RealTime_lib中的GT400-SV Initialization模块放到编辑的模型中。

四、实验内容

动手实验与分析：

基于式(6)所示的倒立摆模型(控制摆角和位置)，根据原系统的特点设计LQR最优控制器，并分析参数和阵的选取对系统的影响。实物实验前先进行理论分析计算(包括能控性分析和稳定性分析，指标转化计算，可以编制相应的程序计算，也可以手算)，并在MATLAB/Simulink中进行离线数值计算分析，调整相关参数，合适后在倒立摆平台上做在线实验，比较仿真结果与实验结果。

4.1、MATLAB仿真结果

系统的MATLAB/Simulink仿真图如下

4.2、MATLAB程序如下

clear;A = [ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0 ];
B = [ 0 1 0 3 ]';
C = [ 1 0 0 0; 0 0 1 0 ];
D = [ 0 0 ]';Gs = ss(A, B, C, D);
Qc = ctrb(A, B);        % 可控矩阵
Qo = obsv(A, C);        % 可观测矩阵
rankQc = rank(Qc);      % 求可控矩阵的秩
rankQo = rank(Qo);      % 求可控矩阵的秩if rankQc == 4disp('系统可控');
elsedisp('系统不可控');
endif rankQo == 4disp('系统可观');
elsedisp('系统不可观');
end

4.2.1、判断系统的能控与能观性

判断系统的能控与能观性运行如下

>> shiYan3
系统可控
系统可观

由运行结果可知，系统可控、客观。

4.2.2、求系统的极点

求系统的极点的代码如下

P = poly(A); % 特征多项式
rootP = roots(P); % 极点
disp(rootP);

求系统的极点运行结果如下

>> shiYan3
系统可控
系统可观005.4222-5.4222

可以知道系统有一个极点在右边，系统不稳定。

4.2.3、进行极点配置

ζ=0.8、ζ=0.707、ζ=0.316
设计状态反馈阵时，要使系统的极点设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定。我们设置系统的最大超调量小于等于8%，调节时间为小于等于5 S。运用超调量的计算公式可以计算出ε= 0.63；ts=5s，可以求得Wn≥0.95。用极点公式为P1,2=-εw + iw√1-εz,得到两个配置的共轭极点为: -0.6士0.74i。选取非主导极点距虚轴的距离为主导极点距虚轴的距离的5倍以上：所以可以两个非主导极点为：-10。

进行极点配置MATLAB程序代码如下：

p = [-0.6 + 0.74j -0.6 - 0.74j -10 -10];  % 极点配置
K = acker(A, B, p);
disp(K);

进行极点配置运行如下

  -3.0871   -4.6990   52.4649    8.6330

MATLAB仿真如下

由仿真结果可知，系统的调节时间5s左右，系统的摆杆最终稳定在0的位置。

4.3、线性二次型最优控制LQR求出配置极点

线性二次型最优控制LQR求出配置极点代码如下所示

% 线性二次型最优控制LQR求出配置极点
Q = [1000 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 1000 0; 0 0 0 0];
R = 1;
LQR_K = lqr(A, B, Q, R);
disp(LQR_K);

线性二次型最优控制LQR求出配置极点运行如下

-31.6228  -21.7963   83.4140   14.2355

线性二次型最优控制LQR求出配置极点MATLAB仿真如下

由仿真结果可知，线性二次型最优控制LQR求出配置极点，使系统的调节时间降低到了2s，摆杆的摆动幅度更小。

五、实验室运行结果

在实验室进行实物倒立摆的控制，设计的控制模型与系统的运行结果如下

控制系统模型

系统正常运行的效果图

系统在扰动下的运行结果

六、实验总结

一阶倒立摆的LQR控制器设计的实验总结如下几点所示

1、通过实验，理解并掌握了线性状态反馈控制的原理和方法。运用状态反馈可以配置系统的极点到任意的位置。
2、理解并掌握LQR控制器设计方法。
3、通过实验掌握了利用状态反馈配置极点的前提：对系统进行能控与能观性的判断。
4、通过实验，加强了动手实践与理论相结合的能力。

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4.1、MATLAB仿真结果

4.2、MATLAB程序如下

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