1.定义

设矩阵A∈Crm×n(r>0)A\in C_r^{m\times n}(r>0)A∈Crm×n(r>0),若存在A=FG,F∈Crm×r,A∈Grr×nA=FG,F\in C_r^{m\times r},A\in G_r^{r\times n}A=FG,F∈Crm×r,A∈Grr×n则称其为A的一个满秩分解

2.存在性定理

设A∈Crm×n(r>0)A\in C_r^{m\times n}(r>0)A∈Crm×n(r>0)存在E∈Cmm×m(r>0)E\in C_m^{m\times m}(r>0)E∈Cmm×m(r>0)使得EA=[G...O]m−r行r行EA=\left[ \begin{matrix}G\\...\\O \end{matrix}\right]_{m-r行}^{r行}EA=⎣⎡G...O⎦⎤m−r行r行 A=E−1[G...O]=[FS][G...O]=FGA=E^{-1}\left[ \begin{matrix}G\\...\\O \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}F&S \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}G\\...\\O \end{matrix}\right]=FGA=E−1⎣⎡G...O⎦⎤=[FS]⎣⎡G...O⎦⎤=FG其中F∈Crm×rF\in C_{r}^{m\times r}F∈Crm×r
(EEE是满秩矩阵，它的逆的秩也是mmm)

3.hermite矩阵

形如

称为hermite标准型

前rrr行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后m−rm-rm−r行的元素全为零（称为零行）；
若第iii行的第一个非零元素（即1）在第jij_iji列，则j1<j2...<jrj_1<j_2...<j_rj1<j2...<jr

4.满秩分解的一种求法

例1：求A=[1230021−11021]A=\left[ \begin{matrix}1&2&3&0 \\ 0&2&1&-1 \\1&0&2&1 \end{matrix}\right]A=⎣⎡1012203120−11⎦⎤的满秩分解
解：整体思路
GGG矩阵即为将AAA矩阵变为hermite标准型后取前rrr行的矩阵，而FFF矩阵是F=AP1=E−1BP1=[FS][IrO]F=AP_1=E^{-1}BP_1=\left[ \begin{matrix}F&S \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}I_r\\O \end{matrix}\right]F=AP1=E−1BP1=[FS][IrO]
对A进行初等行变换[AI3]=[1230.100021−1.0101021.001]\left[ \begin{matrix}A&I_3 \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}1&2&3&0 &.&1&0&0\\ 0&2&1&-1&. &0&1&0\\1&0&2&1&. &0&0&1\end{matrix}\right][AI3]=⎣⎡1012203120−11...100010001⎦⎤第三行加第二行减第一行[1230.100021−1.0100000.−111]\left[ \begin{matrix}1&2&3&0 &.&1&0&0\\ 0&2&1&-1&. &0&1&0\\0&0&0&0&. &-1&1&1\end{matrix}\right]⎣⎡1002203100−10...10−1011001⎦⎤第一行减第二行[1021.1−10021−1.0100000.−111]\left[ \begin{matrix}1&0&2&1 &.&1&-1&0\\ 0&2&1&-1&. &0&1&0\\ 0&0&0&0&. &-1&1&1\end{matrix}\right]⎣⎡1000202101−10...10−1−111001⎦⎤
第二行乘1/2[1021.1−10011/2−1/2.01/200000.−111]\left[ \begin{matrix} 1&0&2&1 &.&1&-1&0\\ 0&1&1/2&-1/2&. &0&1/2&0\\ 0&0&0&0&. &-1&1&1 \end{matrix}\right]⎣⎡10001021/201−1/20...10−1−11/21001⎦⎤

由此我们可以得到G=[1021011/2−1/2],F=AP1=[1230021−11021][10010000]=[120210]G=\left[ \begin{matrix}1&0&2&1 \\ 0&1&1/2&-1/2 \end{matrix}\right],F=AP_1=\left[ \begin{matrix} 1&2&3&0 \\ 0&2&1&-1 \\ 1&0&2&1 \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}1&0 \\ 0&1\\0&0\\0&0 \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}1&2 \\ 0&2 \\1&0 \end{matrix}\right]G=[100121/21−1/2],F=AP1=⎣⎡1012203120−11⎦⎤⎣⎢⎢⎡10000100⎦⎥⎥⎤=⎣⎡101220⎦⎤

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