最近写到一些基础数论题，
发现一个可怕的事实
基础数论的理论我都懂，但是连最基础的板子都有可能敲错
所以特意停下手中的题，进行基础数论的实现

First.欧几里得(辗转相除)

int gcd(int a,int b)
{int r=a%b;while (r){a=b;b=r;r=a%b;}return b;
}

Second.扩展欧几里得

ax+by=gcd(a,b)
ax+by=bx’+(a%b)y’
ax+by=bx’+(a-(a/b)*b)y’
ax+by=ay’+b(x’-(a/b)y’)

x=y’
y=x’-(a/b)y’

使用条件

等号右边一定是gcd(a,b)*k (k!=0)
如果是求拟元，则gcd(a,b)==1

int exgcd(int a,int b)
{if (b==0){x=1;y=0;return;}else{exgcd(b,a%b);int t=y;y=x-(a/b)*y;x=t;}
}

Third.KSM+费马小定理

使用条件

a,p互质

ll KSM(ll a,int b,ll p)
{ll t=1;a%=p;while (b){if (b&1)t=(t%p*a%p)%p;b>>=1;a=(a%p*a%p)%p;}return t%p;
}ll fm(ll x,ll p)
{return KSM(x,p-2,p);
}

Forth.线性求拟元
a在mod p意义下的拟元
p%a=p-(p/a)*a
p%a=-(p/a)*a
a=(p%a)*(-p/a)^-1
a^-1=inv[p%a]*(p-p/a)

int inv[N];void INV(int n,int p)
{inv[0]=0;inv[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(p-(p/i))*inv[p%i]%p;
}

Fifth.bsgs

map<ll,int> mp;int bsgs(ll x,ll z,ll p)
{x%=p; z%=p;mp.clear();if (x==0&&z==0) return 0;if (x==0) return -1;ll m=(ll)ceil(sqrt((double)p)),now=1;mp[1]=m+1;for (int i=1;i<m;i++){now=(now%p*x%p)%p;if (!mp[now]) mp[now]=i;}ll inv=1,tmp=KSM(x,p-m-1,p);for (int k=0;k<m;k++){int i=mp[(z%p*inv%p)%p];if (i){if (i==m+1) i=0;return k*m+i;}inv=(inv%p*tmp%p)%p;}return -1;
}

Sixth.组合数的递推

int C[N][N];void doit(int n,int m)
{int i,j;C[1][1]=1;for (i=2;i<=n;i++)for (j=1;j<=i;j++)C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=i;j++)printf("%d ",C[i][j]);puts("");}
}

Seventh.Lucas

使用条件

p模数是素数，
相当于把n，m变成p进制数
C组合数可以预处理
因为p是质数，所以可以用费马小定理求拟元，
当然如果预处理了C就没有这个问题了

int inv(int x,int p)
{return KSM(x,p-2,p);
}int C(int n,int m)
{if (m>n) return 0;int FZ=1,FM=1;for (int i=n-m+1;i<=n;i++) FZ=(FZ*i)%p;for (int i=2;i<=m;i++) FM=(FM*i)%p;return (FZ%p*inv(FM,p)%p)%p;
}int Lucas(int n,int m,int p)
{if (n<m) return 0;int ans=1;while (m){ans=(ans%p*C(n%p,m%p)%p)%p;n/=p;m/=p;}return ans;
}

Eighth.线性筛素数

int sshu[N],tot=0;
bool no[N];void make(int n)
{memset(no,0,sizeof(no));for (int i=2;i<=n;i++){if (!no[i])sshu[++tot]=i;for (int j=1;j<=tot&&sshu[j]*i<=n;j++){no[sshu[j]*i]=1;if (i%sshu[j]==0) break;   //i%sshu[j] }}
}

Ninth.欧拉函数（phi）
计算式：
phi(i)=i*∏((j-1)/j) {j是素数且i%j==0}

注意

先除后乘防止炸掉

int phi[N];void makephi(int n)   //phi[i]小于等于i且与i互质的数的个数
{int i,j;for (i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;for (i=1;i<=tot&&sshu[i]<=n;i++)for (j=sshu[i];j<=n;j+=sshu[i]){phi[j]=phi[j]/sshu[i];phi[i]=phi[j]*(sshu[i]-1);}
}

Tenth.莫比乌斯函数（mu）
μ(1)=1;
μ(素数)=-1
μ(分解质因数后，每个质因子<=1个)=-1^（质因子个数）；
μ(其他)=0

莫比乌斯函数完整定义的通俗表达:
1)莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N
2)μ(1)=1
3)当n存在平方因子时，μ(n)=0
4)当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1
5)当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1

void makemu(int n)
{mu[1]=1;memset(no,0,sizeof(no));for (int i=1;i<=n;i++){if (!no[i]){sshu[++tot]=i;mu[i]=-1;}for (int j=1;j<=tot&&sshu[j]*i<=n;j++){no[sshu[j]*i]=1;if (i%sshu[j]==0){mu[i*sshu[j]]=0;break;}mu[i*sshu[j]]=-mu[i];}}
}