浅谈生成函数+卷积+FFT

在写FFT的时候，经常会遇到和生成函数的结合
一开始不是能明白，结果突然有一天顿悟了
下面就xue微谈一下生成函数，卷积和FFT的关系吧

生成函数

我们经常用生成函数解决以下问题：

设hnhnh_n为方程：3∗e1+4∗e2+2∗e3+5∗e4=n3∗e1+4∗e2+2∗e3+5∗e4=n3*e_1+4*e_2+2*e_3+5*e_4=n的非负整数解得个数。
求h0，h1，…，hn，…h0，h1，…，hn，…h_0，h_1，…，h_n，…的生成函数g(x)g(x)g(x)

解：
f1=3∗e1,f2=4∗e2,f3=2∗e3,f4=5∗e4f1=3∗e1,f2=4∗e2,f3=2∗e3,f4=5∗e4f_1=3*e_1,f_2=4*e_2,f_3=2*e_3,f_4=5*e_4
那么f1f1f_1是3的倍数，f2f2f_2是4的倍数，f3f3f_3是2的倍数，f4f4f_4是5的倍数
g(x)=(1+x3+x6+...)(1+x4+x8+...)(1+x2+x4+...)(1+x5+x10+...)g(x)=(1+x3+x6+...)(1+x4+x8+...)(1+x2+x4+...)(1+x5+x10+...)g(x)=(1+x^3+x^6+...)(1+x^4+x^8+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+...)

这样我们就可以画柿子直接计算答案了
但是如果我们从题面中提取不到元素的信息，只能通过输入得到而不能直接画柿子
这种情况下我们只能计算若干个多项式的乘法

那么我们怎么计算多项式乘法呢？继续往下看↓

卷积

之前在浅谈数论中简单的提到了卷积中的一类：狄利克雷卷积

实际上，普通的卷积是这样的：

Cn=∑ni=1aibn−iCn=∑i=1naibn−iC_n={\sum_{i=1}^{n}a_ib_{n-i}}

这就有点像竖式乘法：

a:                 4    3    2    1
b:                 4    3    2    1
//----------------------------------1*4  1*3  1*2  1*12*4  2*3  2*2  2*13*4  3*3  3*2  3*1
c: 4*4  4*3  4*2  4*1

用心感受一下

狄利克雷卷积：

Cn=∑d|nadbndCn=∑d|nadbndC_n={\sum_{d|n}a_db_{n \over d}}

上式多用于莫比乌斯反演

观察一下，可以得到一个小规律：
a,ba,ba,b下标之和等于ccc的下标

而多项式乘法也是遵循竖式乘法原则的：
A(x)=x4+3x2+2x" role="presentation" style="position: relative;">A(x)=x4+3x2+2xA(x)=x4+3x2+2xA(x)=x^4+3x^2+2x
B(x)=x3+4x2+1B(x)=x3+4x2+1B(x)=x^3+4x^2+1
A(x)∗B(x)=x7+4x6+3x5+15x4+8x3+3x2+2xA(x)∗B(x)=x7+4x6+3x5+15x4+8x3+3x2+2xA(x)*B(x)=x^7+4x^6+3x^5+15x^4+8x^3+3x^2+2x

      7   6   5   4   3   2   1   0
A:                1   0   3   2   0
B:                    1   4   0   11*1 1*0 1*3 1*2 1*00   0   0   0   0  4*1 4*0 4*3 4*2 4*01*1 1*0 1*3 1*2 1*0
A*B:  1   4   3  15   8   3   2

实际上，多项式乘法就是两个函数的卷积
C(x)=A(x)∗B(x)C(x)=A(x)∗B(x)C(x)=A(x)*B(x)
Cn=∑ni=1AiBn−iCn=∑i=1nAiBn−iC_n={\sum_{i=1}^{n}A_iB_{n-i}}

我们要是按照上面的式子计算，会有多次的乘法和加法，非常慢
所以我们要引入一个快速计算多项式乘法（即卷积）的方法

FFT

FFT，说白了就是用来快速计算卷积的

首先，想明白FFT，就需要知道多项式的表示方法

多项式还有什么表示方法呢？
上文提到的多项式都是系数表达，然而还有一种方法点值表达

形象点来说，就是画出多项式的图像，用图像上的点表示多项式
对于一个n次多项式，我们需要n+1n+1n+1个点来确定多项式
因为一共有n+1n+1n+1个待定的系数(a0,a1,a2,a3...,an)(a0,a1,a2,a3...,an)(a_0,a_1,a_2,a_3...,a_n)，需要n+1n+1n+1个方程

为了发现点值表达的性质，我们先看一个小例子：
A(x)=x2+2x−1A(x)=x2+2x−1A(x)=x^2+2x-1
B(x)=x2−x+2B(x)=x2−x+2B(x)=x^2-x+2
C(x)=A(x)+B(x)C(x)=A(x)+B(x)C(x)=A(x)+B(x)
D(x)=A(x)B(x)D(x)=A(x)B(x)D(x)=A(x)B(x)

可以发现，当x坐标相等的时候，A和B的y坐标相乘就是D的y坐标
那么如果我们能把多项式变成点值表达，就可以用n次乘法完成卷积

然而，FFT就可以完成多项式在系数表达和点值表达之间的转化

学妹的FFT简单讲解，感觉还不错，dada们就当看着玩吧

假设我们都会了FFT，得到了A和B的点值表达，那么答案就是：

for (int i=0;i<=fn;i++) A[i]=A[i]*B[i];

但是我们在答案输出的时候，是不接受点值表达的，我们还要把点值表达转换成系数表达
这就是FFT的逆操作：IDFT

在FFT中，我们有一个主n次单位根：ωnωn\omega_n

ωkn=e2πkin=(cos(2πkn),sin(2πkn)i)ωnk=e2πkin=(cos(2πkn),sin(2πkn)i)\omega_n^k={e^{{2 \pi ki} \over n}}=(cos({{2 \pi k} \over n}),sin({{2 \pi k} \over n})i)

我们直接把A乘上ωnωn\omega_n的逆矩阵ω−1nnωn−1n\omega_n^{-1} \over n即可

而ω−1nωn−1\omega_n^{-1}就是ωnωn\omega_n的共轭复数

共轭复数：实数部分相等，虚数部分相反
ωn=(cos(2πn),sin(2πn)i)ωn=(cos(2πn),sin(2πn)i)\omega_n=(cos({{2 \pi} \over n}),sin({{2 \pi} \over n})i)
ω−1n=(cos(2πn),−sin(2πn)i)ωn−1=(cos(2πn),−sin(2πn)i)\omega_n^{-1}=(cos({{2 \pi} \over n}),-sin({{2 \pi} \over n})i)

以上就是生成函数，卷积和FFT的关系啦