数论12——浅谈指数与对数
c/c++语言中,关于指数,对数的函数我也就知道那么多
exp(),pow(),sqrt(),log(),log10(),
exp(x)就是计算e的x次方,sqrt(x)就是对x开根号
pow()函数可是十分强大的( ̄ε ̄)
pow(a, b)可以算a的b次方,但是b不限于整数,小数也可以
所以pow(x, 0.5)相当于sqrt(x)
pow(M_E, x)相当于exp(x) (M_E就是e)
这是我在math.h发现的可以直接用
#ifdef __STRICT_ANSI__
#undef __STRICT_ANSI__
#endif
#include<cstdio>
#include<cmath>
int main(){printf("%.20f\n", M_E);printf("%.20f\n", M_PI);
}
/*
在math头文件的前面,最好加上最上面那三行
因为编译器不同,系统不同,都有可能导致用不了M_E
比如codeforces,不加前三行,无法识别M_E
*/
但是函数总有他存在的意义,要不然大家都用pow(x, 0.5),没人用sqrt了
所以我认为,后者比前者要快,或者可能更精确(o゚ω゚o)
比如sqrt,我来给大家讲一个鬼故事(ΘˍΘ=),有一个比sqrt还要快计算出根号的函数
一个关于被称作“魔数”0x5F3759DF的故事
以下摘自http://www.guokr.com/post/90718/
(不看可以跳过)
http://www.douban.com/note/93460299/
Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错,而且即使计算机配置低,也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克(John Carmack)。事实上早在90年代初DOS时代,只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候,John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励,doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效,几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见,修改了不少API。
最近,QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议,公开了QUAKE-III的原代码,让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。
这是QUAKE-III原代码的下载地址:
http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547
(下面是官方的下载网址,搜索 “quake3-1.32b-source.zip” 可以找到一大堆中文网页的
ftp://ftp.idsoftware.com/idstuff/source/quake3-1.32b-source.zip)
我们知道,越底层的函数,调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数(在game/code/q_math.c), 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数,很多都令人惊奇,估计我们几年时间都学不完。
在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍:
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。
注意到这个函数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代,直接运算)。编译,实验,这个函数不仅工作的很好,而且比标准的sqrt()函数快4倍!要知道,编译器自带的函数,可是经过严格仔细的汇编优化的啊!
这个简洁的函数,最核心,也是最让人费解的,就是标注了“what the fuck?”的一句
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
两句话就完成了开方运算!而且注意到,核心那句是定点移位运算,速度极快!特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上,这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。
简单来说比如求平方根,f(x)=x^2=a ,f'(x)= 2*x,f(x)/f'(x)=x/2,把f(x)代入
x-f(x)/f'(x)后有(x+a/x)/2,现在我们选a=5,选一个猜测值比如2,
那么我们可以这么算
5/2 = 2.5; (2.5+2)/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; (2.25+xxx)/2 = xxxx ...
这样反复迭代下去,结果必定收敛于sqrt(5),没错,一般的求平方根都是这么算的
但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值
就是我们加注释的那一行,那一行算出的值非常接近1/sqrt(n),这样我们只需要2次牛 顿迭代就可以达到我们所需要的精度.
好吧 如果这个还不算NB,接着看:
普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣,决定要研究一下卡马克弄出来的
这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人,在精心研究之后从理论上也推导出一个
最佳猜测值,和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛,他是外星人吗?
传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意,于是拿自己计算出的起始
值和卡马克的神秘数字做比赛,看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是
卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。
最后Lomont怒了,采用暴力方法一个数字一个数字试过来,终于找到一个比卡马克数
字要好上那么一丁点的数字,虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似,这个暴
力得出的数字是0x5f375a86。
Lomont为此写下一篇论文,"Fast Inverse Square Root"。
论文下载地址:
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf
参考:<IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic><FAST INVERSE SQUARE ROOT>
最后,给出最精简的1/sqrt()函数:
float InvSqrt(float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
return x;
}
大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验,惊讶一下它的工作效率。
百度百科给的Carmack的sqrt()函数
static
float
CarmackSqrt (
float
x)
{
float
xhalf = 0.5f * x;
int
i = *(
int
*)&x;
// get bits for floating VALUE
i = 0x5f3759df - (i>>1);
// gives initial guess y0
x = *(
float
*)&i;
// convert bits BACK to float
x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
// Newton step, repeating increases accuracy
x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
// Newton step, repeating increases accuracy
x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
// Newton step, repeating increases accuracy
return
(1 / x);
}
看完故事是不是觉得技巧很重要
故事告一段落,要不要来练练手( ̄o ̄)
poj 2109
http://poj.org/problem?id=2109
题目大意: K ^ N = P, 给N 和 P, 求K。数据规模 :1<=n<= 200, 1<=p<10101 而且保证存在 k, 1<=k<=109 。
正常不就是 二分+高精度算法 吗?
AC代码:
![](/assets/blank.gif)
![](/assets/blank.gif)
#include<cstdio> #include<cmath> double n, p; int main(){while(scanf("%lf%lf", &n, &p) != EOF){printf("%.0f\n", pow(p, 1/n));} }
View Code
哇哈哈,看到没有,看到没有,这就是技巧(*゚▽゚*)
double虽然精度只有16位左右,但是我们只要知道前16位就够了,后面任凭他用科学计数法去表示吧,反正我们不需要。
因为当n错一位,K的值前16位都会变化很大,所以这样计算出来的K肯定是唯一的。
下面来说说对数:
C语言中,有两个log函数,分别为log和log10函数
log()是以e为底数的,数学上我们是写作ln(x)的
log10()是以10为底数的
那如果我想以2作为底数怎么办
这么写 log(x) / log(2) 数学公式,还记得吗<( ̄︶ ̄)>
定义类型:double log(double x);
double log10(double x);
当然我们一般用double的,它不只能接受double
double log (double x);float log (float x); long double log (long double x);double log (T x); // additional overloads for integral types 最后一句模板T类型只有c++11支持,基本你不会自己去重载所以用不上然后,从c++98开始,就支持<complex>
and<valarray>两个类型了 待会我会讲讲
<complex>头文件,这是复数类
在比较a^b和c^d次方,如果b和d非常大怎么办
比如这题:hdu 5170
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5170
告诉你a,b,c,d,要你比较a^b和c^d,输出"<",">"或"="
1≤a,b,c,d≤1000
所以直接用log的性质
log(a^b) = b * log(a)
如果两边同时log一下再比较,那就方便多了(注意log有精度误差)
完整性质:
AC代码:
![](/assets/blank.gif)
![](/assets/blank.gif)
#include<cstdio> #include<cmath> int main(){int a, b, c, d;double l, r;while(~scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d)){l = b * log(a);r = d * log(c);if(fabs(l - r) < 1e-6){//精度误差,一般小于0.000001可以认为相等 puts("=");}else if(l < r){puts("<");}else{puts(">");}} } //关于1e-6,有人写1e-7,1e-8,连1e-10都有,看喜好咯
View Code
或许有比较数学化的比较方法,但是精度用的好的人真是无敌了(☆゚∀゚)
有没有想过遇到x^y^z怎么办
cf 621D
http://codeforces.com/problemset/problem/621/D
给你三个数x,y,z,比较这12个式子,问你哪个式子最大
0.1 ≤ x, y, z ≤ 200.0
x^(y^z)
这个式子log一下
变成
原式 = y^z*log(x)
再log一下变成
= log(y^z*log(x))
= log(y^z) + log(log(x))
= z * log(y) + log(log(x))
本来这样就可以比较了
可是题目的范围是0.1
log()小数会产生负数
log负数就没意义了
所以对于log(log(x))这么写不行
那怎么办
哼哼,技巧
double范围 -1.7*10(-308)~1.7*10(308)
long double范围 128 18-19 -1.2*10(-4932)~1.2*10(4932)
虽然他们两精度都是16位,但是200的200次方long double竟然存的下
所以只要一次log就好了
然后愉快的写代码吧
AC代码:
![](/assets/blank.gif)
![](/assets/blank.gif)
#include<cstdio> #include<cmath> #include<iostream> using namespace std; char str[12][10] = {"x^y^z","x^z^y","(x^y)^z","(x^z)^y","y^x^z","y^z^x","(y^x)^z","(y^z)^x","z^x^y","z^y^x","(z^x)^y","(z^y)^x", }; long double x, y, z; long double mx, t; int pos; void judge(int x){//printf("t = %llf\n", t);if(fabs(mx - t) <= 1e-6) return ;else if(mx < t){pos = x;mx = t;} } int main(){cin >> x >> y >> z;pos = 0;mx = pow(y, z)*log(x);t = pow(z, y)*log(x);judge(1);t = z*log(pow(x, y));judge(2);t = y*log(pow(x, z));judge(3);t = pow(x, z)*log(y);judge(4);t = pow(z, x)*log(y);judge(5);t = z*log(pow(y, x));judge(6);t = x*log(pow(y, z));judge(7);t = pow(x, y)*log(z);judge(8);t = pow(y, x)*log(z);judge(9);t = y*log(pow(z, x));judge(10);t = x*log(pow(z, y));judge(11);printf("%s\n", str[pos]); }
View Code
其实log()一个负数是可以解的
还记得当年大明湖畔的欧拉公式吗
eiπ = -1
因为e的i∏次方等于-1
所以log(-1) = i∏
所以负数迎刃而解
log(-2) = log(-1 * 2) = log(-1) + log(2)
那log(i)呢
根号-1等于i
所以log(i) = log( -1^(1/2) ) = 1/2 * log(-1) = 1/2 * i∏
那log(a + bi)
欧拉原公式写作
eix = cosx + isinx
那么
所以说嘛,年轻人就应该拿一本复变函数去看去(,,• ₃ •,,)
附上刚刚那题用复数计算的AC代码
现在知道了吧
complex类就是这么用的,而且log支持接收复数类,真是太神奇了(*゚▽゚*)
这篇文章写的我累死了π__π
转载于:https://www.cnblogs.com/xzxl/p/7354078.html
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