1. 拉普拉斯正变化

（1）线性性质拆分

适用情况： 函数由多个常见的式子组成

F[αF(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s),\mathscr{F}[\alpha F(t) + \beta g(t)] = \alpha F(s) + \beta G(s), F[αF(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s),

（2）微分性质

适用情况： 函数求导后能简化拉普拉斯变换
L[f′(t)]=sF(s)−f(0);\mathscr{L}[f'(t)] = sF(s) - f(0); L[f′(t)]=sF(s)−f(0);

适用情况：
L[tf(t)]=−F′(s)\mathscr{L}[tf(t)] = -F'(s) L[tf(t)]=−F′(s)

（3）积分性质

适用情况： 含1t\frac{1}{t}t1
L[f(t)t]=∫s∞F(s)ds\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t}] = \int_{s}^{\infty}F(s)ds L[tf(t)]=∫s∞F(s)ds

（4）延迟性质

适用情况：
$$

（5）位移性质

适用情况： 含有eαte^{\alpha t}eαt的函数
L[eatf(t)]=F(s−a)(a为一复常数)\mathscr{L}[e^{at}f(t)] = F(s-a)~~~(a为一复常数) L[eatf(t)]=F(s−a) (a为一复常数)
其中F(s)=L[f(t)].其中F(s) = \mathscr{L}[f(t)].其中F(s)=L[f(t)].

2. 拉普拉斯逆变换

（1）线性性质拆分

适用情况： 函数可拆分成多个常见的拉普拉斯变换相加减。

（2）卷积定理

适用情况： F(s)由两个易知像原函数f(t)的函数F_1(s)和F_2(s)相乘
f(t)=L−1[F1(s)⋅F2(s)]=f1(t)∗f2(t)f(t) = \mathscr{L}^{-1}[F_1(s)·F_2(s)] = f_1(t) * f_2(t) f(t)=L−1[F1(s)⋅F2(s)]=f1(t)∗f2(t)

（3）留数求解

适用情况： 从函数的分母上易知孤立奇点。
f(t)=∑k=1nRes[F(s)est,sk].f(t) = \sum_{ k =1}^{n}Res[~F(s)e^{st},s_k~]. f(t)=k=1∑nRes[ F(s)est,sk ].

附录：常见拉普拉斯变化对

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拉普拉斯（逆）变换的计算

目录

1. 拉普拉斯正变化

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2. 拉普拉斯逆变换

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