斐波那契数列青蛙跳台阶变态跳台阶

一、斐波那契数列

二、青蛙跳台阶问题

三、变态跳台阶

一、斐波那契数列

题目：写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。

思路：用递归的方法，f(n) =f(n-1) + f(n-2)。代码比较简单。

#include<iostream>
using namespace std;int Fibonacci(int n)
{if(n <= 0){return 0;}if(n == 1){return 1;}return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}int main()
{cout << Fibonacci(-1) << " ";cout << Fibonacci(0) << " ";cout << Fibonacci(1) << " ";cout << Fibonacci(2) << " ";cout << Fibonacci(3) << " ";cout << Fibonacci(4) << " ";cout << Fibonacci(5) << " ";return  0;
}

上面的代码如果n的值较大，递归的次数较多，就会造成栈溢出。

代码优化：

思路：可以用循环将数字从开始加到n。

#include<iostream>
using namespace std;int Fibonacci(int n)
{int f1 = 1;int f2 = 1;int f3 = 0;if(n <= 0){return 0;}if(n == 1 || n == 2){return 1;}while(n > 2){f3 = f1+f2;f1= f2;f2= f3;n--;}return f3;
}int main()
{cout << Fibonacci(-1) << " ";cout << Fibonacci(0) << " ";cout << Fibonacci(1) << " ";cout << Fibonacci(2) << " ";cout << Fibonacci(3) << " ";cout << Fibonacci(4) << " ";cout << Fibonacci(5) << " ";return  0;
}

二、青蛙跳台阶问题

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳2级台阶。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。

思路：一级台阶只有一种跳法。两级台阶可以一次跳一级，也可以一次跳两级，一共两种方法。如果是三级的话，就是从二阶或者从一阶跳上来，以此类推，所以可以用递归的方式。

#include<iostream>
using namespace std;int JumpFloor(int n)
{if( n <= 0){return 0;}if( n == 1 || n == 2 ){return n;}return JumpFloor(n-1) + JumpFloor(n-2);
}int main()
{cout << JumpFloor(0) << endl;cout << JumpFloor(1) << endl;cout << JumpFloor(2) << endl;cout << JumpFloor(3) << endl;cout << JumpFloor(4) << endl;cout << JumpFloor(5) << endl;return 0;
}

代码优化，思路和上面的例子相同。

#include<iostream>
using namespace std;int JumpFloor(int n)
{if( n <= 0){return 0;}if( n == 1 || n == 2){return n;}int f1 = 1;int f2 = 2;int f3 = 0;while(n > 2){f3= f1+f2;f1 = f2;f2 = f3;n--;}return f3;
}int main()
{cout << JumpFloor(0) << endl;cout << JumpFloor(1) << endl;cout << JumpFloor(2) << endl;cout << JumpFloor(3) << endl;cout << JumpFloor(4) << endl;cout << JumpFloor(5) << endl;return 0;
}

三、变态跳台阶

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳2级台阶， ... 也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。

思路：当有一级台阶时，跳法:：0->1。

当有二级台阶时，跳法： 0->1->2 ,0->2。

当有三级台阶时，跳法： 0->1->2->3,0->1->3, 0->2->3, 0->3。

当有四级台阶时，跳法： 0->1->2->3->4,0->1->2->4,0->1->3->4, 0->1->4,0->2->3->4,0->2->4,0->3->4,0->4。

规律：f(n) = 2^(n-1)。

#include<iostream>
using namespace std;int JumpFloor(int n)
{if(n <= 0){return 0;}if(n == 1 || n == 2){return n;}return 2 *JumpFloor(n-1) ;
}int main()
{cout << JumpFloor(-1) << endl;cout << JumpFloor(0) << endl;cout << JumpFloor(1) << endl;cout << JumpFloor(2) << endl;cout << JumpFloor(3) << endl;cout << JumpFloor(4) << endl;cout << JumpFloor(5) << endl;
}

优化：

int JumpFloor(int n)
{if(n <= 0){return 0;}if(n == 1){return 1;}int count = 1;while(n-1 != 0){count *= 2;n--;}return count;
}int main()
{cout << JumpFloor(-1) << endl;cout << JumpFloor(0) << endl;cout << JumpFloor(1) << endl;cout << JumpFloor(2) << endl;cout << JumpFloor(3) << endl;cout << JumpFloor(4) << endl;cout << JumpFloor(5) << endl;
}