[XSY]Illyasviel的图游戏(博弈论)

Illyasviel的图游戏

除了1号点和n号点每个点度数小于等于2，因此1 到 n 的所有简单路径互不相交。

在结束游戏前的最后一步一定是剩下一条 1 到 n 的路径，并且路径上的权值全都是1。

游戏总步数确定，如果剩下的最后一条路径确定了，先后手的胜负就确定了。

那么双方的策略就使尽可能使最后留下的路径是使自己必胜的路径，即尽可能切断使对方必胜的路径。

如果先手Alice想赢：

若 初始时图中所有边的边权和为奇数：那么他一定要使剩下的最后一条路径有偶数条边（是边数，不是边权和），即他要在Bob把有偶数条边的路径拆完前把有奇数条边的路径拆完；
若 初始时图中所有边的边权和为偶数：那么他一定要使剩下的最后一条路径有奇数条边（是边数，不是边权和），即他要在Bob把有奇数条边的路径拆完前把有偶数条边的路径拆完；

切断一条路径需要的步数是这条路径上的权值的最小值。我们只需要比较双方切断对方必胜的路径所需要的步数即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
const int M=150000;
const ll inf=1e9+7;
struct Edge{int v,w,nxt;
}edge[M<<1];
int cnt,head[N],n,m;
ll sum,st[2];//st[0/1]:拆完有偶数/奇数条边的路径所需步数
void add(int u,int v,int w){edge[++cnt].v=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa,ll minn,bool type){//type=0:路径有偶数条边，type=1:路径有奇数条边 if(u==n){st[type]+=minn;return;}for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].v;if(v==fa) continue;dfs(v,u,min(minn,1ll*edge[i].w),type^1);}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);add(u,v,w);add(v,u,w);sum+=1ll*w;}dfs(1,0,inf,0);if(sum&1){if(st[0]>=st[1]) printf("Yes\n");else printf("No\n");}else{if(st[0]<=st[1]) printf("Yes\n");else printf("No\n");}return 0;
}

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