【SDOI2018】战略游戏【圆方树】【虚树】

题意：给一张 nnn 点 mmm 边的连通无向图，qqq 次询问，每次给出一个点集 SSS ，求有多少个不在 SSS 中的点满足删除后 SSS 中存在两个点不连通。

n≤105,m≤2×105,∑∣S∣≤2×105n\leq 10^5,m\leq 2\times 10^5,\sum |S|\leq 2\times 10^5n≤105,m≤2×105,∑∣S∣≤2×105

显然是虚树

题目相当于求 SSS 的割点数量，想到圆方树

建出圆方树后，对于 SSS 中的一对点，它们路径上任意一个圆点都满足条件。答案相当于求两两路径上的圆点的并集。因为不能取 SSS 中的点，所以要减去 ∣S∣|S|∣S∣。

套到虚树上，发现就是虚树覆盖的圆点个数。即对于每个点 uuu ，设 faufa_ufau 为其虚树上的父亲，sumusum_usumu 为原树上根到 uuu 的圆点个数。那么答案为 ∑(sumu−sumfau)\sum(sum_u-sum_{fa_u})∑(sumu−sumfau)。

注意要特判 lca⁡(S)\operatorname{lca}(S)lca(S)

复杂度 O(n+m+∑∣S∣log⁡∣S∣)O(n+m+\sum|S|\log |S|)O(n+m+∑∣S∣log∣S∣)

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#include <cstdio>
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#include <vector>
#include <algorithm>
#define MAXN 400005
#define MAXM 800005
using namespace std;
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
struct edge{int u,v;}e[MAXM];
int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;
inline void addnode(int u,int v)
{e[++cnt]=(edge){u,v};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
int n,m;
int dfn[MAXN],low[MAXN],tim;
int stk[MAXN],tp,vis[MAXN],bcc[MAXN],vcnt;
vector<int> rtt[MAXN];
void tarjan(int u)
{dfn[u]=low[u]=++tim;for (int i=head[u];i;i=nxt[i]){if (!vis[i>>1]&&!bcc[i>>1]) vis[(stk[++tp]=i)>>1]=1;if (!dfn[e[i].v]){tarjan(e[i].v);low[u]=min(low[u],low[e[i].v]);if (dfn[u]==low[e[i].v]){rtt[u].push_back(bcc[i>>1]=++vcnt);rtt[bcc[i>>1]].push_back(u);while (vis[i>>1]){int t=stk[tp--];vis[t>>1]=0;rtt[bcc[t>>1]=vcnt].push_back(e[t].v);}}}else low[u]=min(low[u],dfn[e[i].v]);}
}
int sum[MAXN],dep[MAXN],fa[MAXN][20];
void dfs(int u)
{dfn[u]=++tim;for (int i=1;i<20;i++) fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];for (int i=0;i<(int)rtt[u].size();i++)if (!dep[rtt[u][i]]){dep[rtt[u][i]]=dep[u]+1;sum[rtt[u][i]]=sum[u]+(rtt[u][i]<=n);fa[rtt[u][i]][0]=u;dfs(rtt[u][i]);   }
}
inline int lca(int x,int y)
{if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);int t=dep[x]-dep[y];for (int i=0;(1<<i)<=t;i++) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i];if (x==y) return x;for (int i=19;i>=0;i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];return fa[x][0];
}
int lis[MAXM],len;
inline bool cmp(const int& x,const int& y){return dfn[x]<dfn[y];}
inline void solve()
{sort(lis+1,lis+len+1,cmp);int res=len;for (int i=1;i<res;i++) lis[++len]=lca(lis[i],lis[i+1]);sort(lis+1,lis+len+1,cmp);len=unique(lis+1,lis+len+1)-lis-1;int ans=0;tp=0;for (int i=1;i<=len;i++){while (tp&&lca(stk[tp],lis[i])!=stk[tp]) --tp;ans+=(tp? sum[lis[i]]-sum[stk[tp]]:(lis[i]<=n));stk[++tp]=lis[i];}printf("%d\n",ans-res);
}
int main()
{for (int T=read();T;T--){n=read(),m=read();cnt=1;memset(head,0,sizeof(head));memset(nxt,0,sizeof(nxt));memset(bcc,0,sizeof(bcc));memset(dep,0,sizeof(dep));memset(sum,0,sizeof(sum));memset(dfn,0,sizeof(dfn));for (int i=1;i<=vcnt;i++) rtt[i].clear();tim=tp=0;for (int i=1;i<=m;i++){int u,v;u=read(),v=read();addnode(u,v),addnode(v,u);}vcnt=n;tarjan(1);for (int i=n+1;i<=vcnt;i++) {sort(rtt[i].begin(),rtt[i].end());rtt[i].erase(unique(rtt[i].begin(),rtt[i].end()),rtt[i].end());}dep[1]=sum[1]=1,tim=0;dfs(1);for (int q=read();q;q--){len=read();for (int i=1;i<=len;i++) lis[i]=read();solve();}}return 0;
}

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