题目

题目来自《编程之美》：在微软亚洲研究院上班，大家早上来的第一件事是干啥呢？查看邮件？No，是去水房拿饮料：酸奶，豆浆，绿茶、王老吉、咖啡、可口可乐……(当然，还是有很多同事把拿饮料当做第二件事)。

管理水房的阿姨们每天都会准备很多的饮料给大家，为了提高服务质量，她们会统计大家对每种饮料的满意度。一段时间后，阿姨们已经有了大批的数据。某天早上，当实习生小飞第一个冲进水房并一次拿了五瓶酸奶、四瓶王老吉、三瓶鲜橙多时，阿姨们逮住了他，要他帮忙。

从阿姨们统计的数据中，小飞可以知道大家对每一种饮料的满意度。阿姨们还告诉小飞，STC(Smart Tea Corp.)负责给研究院供应饮料，每天总量为V。STC很神奇，他们提供的每种饮料之单个容量都是2的方幂，比如王老吉，都是23=8升的，可乐都是25=32升的。当然STC的存货也是有限的，这会是每种饮料购买量的上限。统计数据中用饮料名字、容量、数量、满意度描述每一种饮料。

分析：此处构造的最优子结构和实现的代码不同于《编程之美》，采用动态规划自底向上的方法解决该问题。

1、数学建模

假设STC供提供n中饮料(n=1,2,...n)，对应饮料的参数如下

要求的问题描述如下：

饮料总量为

在这个前提下，求解使总满意度最大，即

对于最优化问题，可以考虑是否能用动态规划求解。同时，该问题很类似于01背包问题，即在总量一定的前提下，使总价值(此处为满意度)最大，所以可以借鉴01背包问题的思想来解决该问题。

2、动态规划求解

2.1描述最优子结构

用f(i)来表示选取饮料i时的最大满意度。假设f(i-1)是选取饮料i-1时的最大满意度，那么

f(i)=max{f(i-1)+k*H[i]}  (v[i-1]*k<=v',v'为f(i-1)时的剩余重量)

其中k=0,1,...,c[i]。

可以证明f(i)为饮料i时的最大满意度，假设如果还有比f(i-1)还大的满意度，则可替换，但是这个假设与f(i-1)是选取饮料i-1时的最大满意度矛盾。

由此确定的最优子结构为

2.2递归定义最优解的值

当i=1时，f(1)=max{k*H[i]}

当i>1时，f(i)=max{f(i-1)+k*H[i]}  (v[i-1]*k<=v',v'为f(i-1)时的剩余重量)

其中k=0,1,...,c[i]。

终止条件：f(0)=0(没有饮料时，满意度为0)

2.3按自底向上方式计算最优解的值

用数组f记录满意度，f[n]为最优满意度，初始值为f[0]=0。数组remainV记录当前剩余总重量，初始值为remainV[0]=V。数组resultK记录对应饮料选择的最终数目，用于构造最优解，初始值为resultK[0]=0。

伪代码如下

/*

n=1,2,...n 饮料名称

V饮料总量上限

*/

f(n,V,C,H){

//初始化

f[0]=0;//数组f记录满意度，f[n]为最优满意度

remainV[0]=V;//数组remainV记录当前剩余总重量

resultK[0]=0;//数组resultK记录对应饮料选择的最终数目，用于构造最优解

for(inti=1;i<=n;i++){//饮料名称

currentf=f[i-1];

for(intk=0;k<=c[i];k++){

//剩余重量判断

tempV=k*v[i];

if(tempV>current[i-1])

break;

tempf=f[i-1]+k*H[i];

if(temp>=currentf){

curretnf=temp;

resultK[i]=k;

}//end if

else

resultK[i]=result[i-1];

}//end for

//记录剩余重量

currentV[i]=current[i-1]-resultK[i]*v[i];

}//end for

//返回最优满意度

returnf[n];

}//end f

2.4由计算出的结果构造一个最优解

//根据resultK构造最优解

for(inti=1;i<=n;i++){

System.out.println("饮料"+i+选取的数目为"+resultK[i]);

}//end for

子问题个数为饮料种类数目n,每个子问题的选择数目为该种饮料的最大上限数目c[i],所以时间复杂度为O(n*max{c[i]})，算法中用3个长度为n+1的数组保存值，故空间复杂度为O(n)