DP 算法： cutting a rod

给定一个问题，能够使用动态规划的方法解决的一个标志就是，这个问题具有最优子结构（optimal substructure）。我们可以认为，能够使用DP算法的问题首先能够分解为子问题。而且我们可以利用子问题的最优解去解决原始问题的解。这当然需要我们在解决了子问题的时候，设法对子问题的最优解存储起来。这就是所谓的DP ≈ recursion(递归) + memoirizaion(备忘)。

下面我们通过算法导论书上的cutting a rod 的例子来说明如何去使用DP算法。

一个rod 的长度是n，对于不同长度的rod，价格不同。用Pi 代表长度为i 的rod 的价格（i = 1, 2, 3, ... n ）。价格表如下：

下在问题来了：

当给我们个长度为4 的 rod，让我们选择一种切割方案，使得我们得到的总的收益是最大的？？？

如上图，箭头表示我们的选择，要么切割，要么不切两种可能。所以总共有2^(4 - 1) = 8 种方案。考虑到由于对称性导致的重复，其实只有五（4 + 1）种方案，如下：

方案收益

（4， 0） 9

（1， 3） 9

（2， 2） 10

（1， 1， 2） 7

（1， 1， 1， 1,） 4

显然，上述最佳的切割方案是（2， 2），收益为10。

上述采用的是brute-force 算法，显然时间复杂度能够到达O（2^(n-1)），到达指数了，显然效果很差，算法伪代码如下：

解释，进入循环：

i = 1, 表示在第一个长度单位的rod 是否切下来做决策， q = max(q, p[1] + CUT-ROD(p, n - 1)), 接下来就涉及到对于i = 1 的递归调用。

i = 2，同理， q = max(q, p[2] + CUT-ROD(p, n - 2)), 意思是第一次切割位于距离头为单位2的距离，接下来，对右边的那段进行递归调用。

............

i = n, 这种情况表示不切割，还需要比较前面所有的切割方案中收益最大的值（存储在q）中，然后和不切割的方案比较，去最大值就是我们的最大的收益。

上述算法达到exponential asymptotic time。

所以为了将算法的时间复杂度降下来，我们使用dynamic programming：

这个问题为什么能用DP算法呢？？？

首先，因为这个问题具有optimal substructure。举个例子，假设我们计算第一次切割在（3， 1）的最佳切割方案，此时3 可以继续切割下去，但是如果我们已经知道3 的最佳切割方案的收益的话(当然，解决完子问题的时候，需要将解存储下来)，我们直接采用3的最佳值直接加上1 即可以得到（3， 1）的后序最佳切割方案得到的收益值了。这就是所谓的optimal substructure。而且能够通过recursive 求解。

所以，有如下注意的地方：

记录B（i）为长度为i 的rod 采用最佳切割得到的收益。所谓的最佳切割就是使得收益达到最大的切割。

那么，我们有如下公式（Vk 代表Pk）：

例如，对于L = 8 的rod ，最大值B（8）的计算如下：

（1， 7），（2， 6），（3， 5），（4， 4），（5， 3），（6， 2），（7， 1），（8， 0）中得到。 pair 对应的第二个为需要求解的最佳值。

所以计算方法如下。

dynianc programming 的 bottom-up 形式的算法如下：

每当计算一个自问题的最佳解，我们存储到表格中：

依次类推下去，最终我们到达B（8），如下：

如下：

这样，我们就解决了这个问题。

整个算法的步骤如下：

这样动态规划将时间复杂度从exponential time 降低到了polynomial time

算法的伪代码为：

程序如下：

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 1000;
int p[11];
int r[N], s[N];//initializer for prices and optimal solution
void init() {memset(r, -1, sizeof(r));r[0] = 0;p[0] = 0;p[1] = 1;p[2] = 5;p[3] = 8;p[4] = 9;p[5] = 10;p[6] = 17;p[7] = 17;p[8] = 20;p[9] = 24;p[10] = 30;
}//naive exponential solutionint cutRod(int n) {int q = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) {q = max(q, p[i] + cutRod(n - i));}return q;
}//top-down solution
int topDownCutRod(int n) {if(r[n] != -1)return r[n];int q = 0;for(int i = 0; i <= n; i++) {q = max(q, p[i] + topDownCutRod(n - i));}return r[n];
}//bottom-up solution
int bottomUpCutRod(int n) {if(r[n] != -1)return r[n];for(int j = 0; j <= n; j++) {int q = 0;for(int i = 1; i <= j; i++) {q = max(q, p[i] + r[j - 1]);}r[j] = q;}return r[n];
}//bottom-up solution that maintains not only the best
//price but also the "required cut" for such solutionint extendedBottomUpCutRod(int n) {if(r[n] != -1)return r[n];for(int j = 1; j <= n; j++) {int q = 0;for(int i = 1; i <= j; i++) {if (q < p[i] + r[j - i]) {q = p[i] + r[j - i];s[j] = i;}}r[j] = q;}return r[n];
}//print the extended method's output
void printCutRodSol(int n) {do {cout << s[n] << " ";} while((n -= s[n]) > 0);
}
int main() {init();int n;cout << "please input the length of the rod: " << endl;cin >> n;cout << endl;
//    cout << cutRod(4) << endl;
//    cout << cutRod(4) << endl;cout << extendedBottomUpCutRod(n) << endl;printCutRodSol(n);return 0;
}

运行结果如下：

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