凑零钱问题的三种解法(Java)

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问题描述：
1.递归解法
2.带备忘录的递归解法
3.dp数组动态规划解法

问题描述：

    给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

1.递归解法

/*** @author 王泽* 凑硬币的核心思路，把所有可以凑的方案穷举出来，然后找使用硬币最少的。* 动态规划问题，要符合最优子结构，子问题间必须互相独立。*/public class CoinChange1 {/*** 暴力递归* 列出正确的状态转移方程* 1.确定base case：amount为0，返回0.* 2.确定状态，也就是原问题和子问题中的变量：amount* 3.确定选择：也就是导致“状态”产生变化的行为。（硬币的选择就是导致状态变化的行为）* 4.明确dp函数/数组的定义* @param coins* @param amount** 伪代码思路：*      public int coinChange(int[] coins, int amount){*          return dp(coins,amount);*      }*      int dp(int[] coins, int amount){*          for(int coin : coins){*              res = min(res,1+dp(amount-coin));*          }*          return res;*      }*/public int coinChange(int[] coins, int amount) {// 题目要求的最终结果是 dp(amount)return dp(coins, amount);}private int dp(int[] coins, int amount) {// base caseif (amount == 0) {return 0;}if (amount < 0) {return -1;}//初始化res为Integer中最大值int res = Integer.MAX_VALUE;for (int coin : coins) {// 计算子问题的结果int subProblem = dp(coins, amount - coin);// 子问题无解则跳过if (subProblem == -1) {continue;}// 在子问题中选择最优解，然后加一res = Math.min(res, subProblem + 1);}// 没有最优解，返回-1return res == Integer.MAX_VALUE ? -1 : res;}}

2.带备忘录的递归解法


import java.util.Arrays;/*** @author 王泽* 带备忘录的递归* 时间复杂度O(kn)*/public class CoinChange2 {//定义备忘录数组int[] memo;public int coinChange(int[] coins, int amount) {memo = new int[amount + 1];// dp 数组全都初始化为特殊值，将array数组的所有数值都赋值为value -666Arrays.fill(memo, -666);return dp(coins, amount);}private int dp(int[] coins, int amount) {if (amount == 0) {return 0;}if (amount < 0) {return -1;}// 查备忘录，防止重复计算if (memo[amount] != -666) {return memo[amount];}int res = Integer.MAX_VALUE;for (int coin : coins) {// 计算子问题的结果int subProblem = dp(coins, amount - coin);// 子问题无解则跳过if (subProblem == -1) {continue;}// 在子问题中选择最优解，然后加一res = Math.min(res, subProblem + 1);}// 把计算结果存入备忘录memo[amount] = (res == Integer.MAX_VALUE) ? -1 : res;return memo[amount];}}

3.dp数组动态规划解法

import java.util.Arrays;/*** @author 王泽* 动态规划解法.* 把目标金额作为变量，体现在数组索引上。* dp数组的定义：当目标金额为 amount时，需要dp[amount]枚硬币才能凑出。*/public class CoinChange3 {public int coinChange(int[] coins, int amount) {// 凑成amount最多用amount(全用1元的硬币)枚硬币，所以初始化为amount+1 就相当于初始化为正无穷，方便以后选小的。int[] dp = new int[amount + 1];// 数组大小为 amount + 1，初始值也为 amount + 1Arrays.fill(dp, amount + 1);// base casedp[0] = 0;// 外层 for 循环在遍历所有状态的所有取值for (int i = 0; i < dp.length; i++) {// 内层 for 循环在求所有选择的最小值for (int coin : coins) {// 子问题无解，跳过if (i - coin < 0) {continue;}dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);}}return (dp[amount] == amount + 1) ? -1 : dp[amount];}}

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