【图】什么是图？无向图怎么存储？邻接表和邻接矩阵如何用代码存储图？
目录
一、概念
图是什么
各种图的定义
二、图的存储结构
邻接矩阵
邻接表
三、代码实现图的存储
1.无向图存储
2.邻接矩阵存储图
核心代码
完整代码
3.邻接表存储有向图（不含权重）
核心代码
完整代码
一、概念
图是什么
图（Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为:G(V,E)，其中，G 表示一个图，V 是图G 中顶点的集合，E 是图G 中边的集合。
各种图的定义
若顶点v1到V之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)，用无序偶对(v,vy) 来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图(Undirected graphs)。 下图左图就是一个无向图，由于是无方向的，连接顶点A与D的边，可以表示成无序对(A,D), 也可以写成(D,A)。
对于左图无向图G1来说，G1= (V,{E1}), 其中顶点集合V1={A,B,C,D};边集合E1={ (A,B) ，(B,C) ，(C,D) ，(D,A) ，(A,C) }。
有向边:若从顶点 v到的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧(Arc )。用有序偶<vi， v1>来表示称为弧尾(Tail)称为头(Head)。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图(Directed graphs)。图 7-2-3就是一个有向图。连接顶点A到 D的有向边就是A是尾D是头AD表示注意不能写成<D，A>。
在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。如下两种图就不属于我们讨论的范围。
在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有 n*(n-1)/2 条边。比如图7-2-5 就是无向完全图，因为每个顶点都要与除它以外的顶点连线，顶点A与BCD三个顶点连线，共有四个顶点，自然是4x3,但由于顶点A与顶点B连线后，计算B与A连线就是重复，因此要整体除以2，共有6条边。
在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称改图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。如下图所示。
有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。这里稀疏和稠密是模糊的概念，都是相对而言的。
有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网(Network)。下图就是一张带权的图，即标识中国四大城市的直线距离的网，此图中的权就是两地的距离。
假设有两个图 G=(V{E})和G`=(V`{E`})，如果V`包含于V且E`包含于E，则称G`为G的子图(Subgraph)（文字描述就是子图的顶点和边都在G图内存在）。例如下图带底纹的图均为左侧无向图与有向图的子图。
路径的长度是路径上的边或弧的数目。下图中左侧路径长为2，右侧路径长度为3。
第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。
图中任意两个顶点之间是连通的，有路径的，则称该图为连通图。
无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调:
- 要是子图;
- 子图要是连通的;
- 连通子图含有极大顶点数:
- 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。
总结：
- 1.图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。
- 2.图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
- 3.图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。
- 什么是邻接？ 两个顶点之间有边的连接就成两点为邻接，在下图中g、f 就不邻接：
入度和出度：
在有向图中，箭头是具有方向的，从一个顶点指向另一个顶点，这样一来，每个顶点被指向的箭头个数，就是它的入度。从这个顶点指出去的箭头个数，就是它的出度
在下图的有向网中，v1的出度：2，入度：0。
- 4.图上的边或弧上带权则称为网。
- 5.图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。
- 6.无向图中连通且n个顶点 n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。
二、图的存储结构
图的存储结构相较线性表与树来说就更加复杂了。首先，我们口头上说的“顶点的位置”或“邻接点的位置”只是一个相对的概念。其实从图的逻辑结构定义来看，图上任何一个顶点都可被看成是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。
比如下图的四张图，仔细观察发现，它们其实是同一个图，只不过顶点的位置不同，就造成了表象上不太一样的感觉。
邻接矩阵
为什么用邻接矩阵解决？
考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成。合在一起比较困难，那就很自然地考虑到分两个结构来分别存储。顶点不分大小、主次，所以用一个一维数组来存储是很不错的选择。而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，一维搞不定，那就考虑用一个二维数组来存储。于是我们的邻接矩阵的方案就诞生了。
邻接矩阵如何存储？
图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。
如下，左图为一无向图，右图为根据左图设置的邻接矩阵，如果两顶点之间有边则值为1，无边值为0。某个顶点的度是这个顶点在接矩阵中第i行(或第i列)的元素之和。比如顶点 v1的度就是1+0+1+0=2。
下图为有向图及其邻接矩阵。
邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。比如说，如果我们要处理下图这样的稀疏有向图，邻接矩阵中除了arc[1][0]有权值外，没有其他弧，其实这些存储空间都浪费掉了。
因此，引入同样适用于图的存储的邻接表。
邻接表( Adjacency List)是数组与链表相结合的存储方法。具体如下：
- 顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。
- 图中每个顶点v的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点v的边表，有向图则称为顶点v作为弧尾的出边表。例如下图所示的就是一个无向图的邻接表结构。
从图中我们知道，顶点表的各个结点由data和 firstedge 两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge 是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和 next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。比如v1顶点与vo、vz互为邻接点，则在v1的边表中，adjvex 分别为vo的0和vz的2。
这样的结构，对于我们要获得图的相关信息也是很方便的。比如我们要想知道某个顶点的度，就去查找这个顶点的边表中结点的个数。若要判断顶点v到v是否存在边，只需要测试顶点v的边表中 adjvex是否存在结点v的下标j就行了。若求顶点的所有邻接点，其实就是对此顶点的边表进行遍历，得到的adjvex域对应的顶点就是邻接点。
若是有向图，邻接表结构是类似的，比如图下图中第一幅图的邻接表就是第二幅图。但要注意的是有向图由于有方向，我们是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易就可以得到每个顶点的出度。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点v都建立一个链接为v为弧头的表。如下图最下面的图所示。
此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个 weight的数据域，存储权值信息即可，如下图所示。
三、代码实现图的存储
1.无向图存储
#include<iostream>
using namespace std;
#define SIZE 10
class Graph
{
public:Graph();~Graph();void InsertVertex(char v);void InsertEdge(char v1, char v2);int GetVertexIndex(char v);void ShowGraph();
private:int m_MaxVertex; //能存储的最大顶点个数int m_NumVertex; //实际存储的个数char* m_Vertex; //存储顶点的一维数组int m_Edge[SIZE][SIZE]; //存储边的二维数组
};Graph::Graph()
{m_MaxVertex = SIZE;m_NumVertex = 0;m_Vertex = new char[m_MaxVertex];int i, j;for (i = 0; i < m_MaxVertex; i++){for (j = 0; j < m_MaxVertex; j++)m_Edge[i][j] = 0;}
}Graph::~Graph()
{if (m_Vertex != NULL){delete[]m_Vertex;m_Vertex = NULL;}m_NumVertex = 0;
}void Graph::InsertVertex(char v)
{if (m_NumVertex >= m_MaxVertex){return;}m_Vertex[m_NumVertex++] = v;
}
void Graph::InsertEdge(char v1, char v2)
{int v1index = GetVertexIndex(v1);int v2index = GetVertexIndex(v2);if (v1index == -1 || v2index == -1)return;m_Edge[v1index][v2index] = 1;m_Edge[v2index][v1index] = 1;
}
int Graph::GetVertexIndex(char v)
{int i;for (i = 0; i < m_NumVertex; i++){if (m_Vertex[i] == v)return i;}return -1; //如果没有找到
}
void Graph::ShowGraph()
{int i, j;cout << " ";for (i = 0; i < m_NumVertex; i++)cout << m_Vertex[i] << " ";cout << endl;for (i = 0; i < m_NumVertex; i++){cout << m_Vertex[i] << " ";for (j = 0; j < m_NumVertex; j++)cout << m_Edge[i][j] << " ";cout << endl;}
}void main()
{Graph g;g.InsertVertex('a');g.InsertVertex('b');g.InsertVertex('c');g.InsertVertex('d');g.InsertEdge('a', 'b');g.InsertEdge('a', 'c');g.InsertEdge('a', 'd');g.InsertEdge('b', 'c');g.InsertEdge('c', 'd');g.ShowGraph();
}2.邻接矩阵存储图
核心代码
int Graph::GetVertexIndex(char v)//得到顶点所在下标
{int i;for (i = 0; i < m_NumVertex; i++){if (m_Vertex[i] == v)return i;}return -1; //如果没有找到
}
void Graph::InsertVertex(char v) //插入顶点
{if (m_NumVertex >= m_MaxVertex){return;}m_Vertex[m_NumVertex++] = v;
}
void Graph::InsertEdge(char v1, char v2,int w) //插入边
{int v1index = GetVertexIndex(v1);int v2index = GetVertexIndex(v2);if (v1index == -1 || v2index == -1)return;m_Edge[v1index][v2index] = w;m_Edge[v2index][v1index] = w;
}完整代码
#include<iostream>
using namespace std;#define SIZE 10
#define MAX_WEIGHT 65535
class Graph
{
public:Graph();~Graph();void InsertVertex(char v);void InsertEdge(char v1, char v2,int w);void DeleteEdge(char v1, char v2);int GetVertexIndex(char v);void ShowGraph();
private:int m_MaxVertex; //能存储的最大顶点个数int m_NumVertex; //实际存储的个数char* m_Vertex; //存储顶点的一维数组int m_Edge[SIZE][SIZE]; //存储边的二维数组
};Graph::Graph()
{m_MaxVertex = SIZE;m_NumVertex = 0;m_Vertex = new char[m_MaxVertex];int i, j;for (i = 0; i < m_MaxVertex; i++){for (j = 0; j < m_MaxVertex; j++){if (i == j)m_Edge[i][j] = 0;elsem_Edge[i][j] = MAX_WEIGHT;}}
}Graph::~Graph()
{if (m_Vertex != NULL){delete[]m_Vertex;m_Vertex = NULL;}m_NumVertex = 0;
}void Graph::InsertVertex(char v)
{if (m_NumVertex >= m_MaxVertex){return;}m_Vertex[m_NumVertex++] = v;
}
void Graph::InsertEdge(char v1, char v2,int w)
{int v1index = GetVertexIndex(v1);int v2index = GetVertexIndex(v2);if (v1index == -1 || v2index == -1)return;m_Edge[v1index][v2index] = w;m_Edge[v2index][v1index] = w;
}
void Graph::DeleteEdge(char v1, char v2)
{int v1index = GetVertexIndex(v1);int v2index = GetVertexIndex(v2);if (v1index == -1 || v2index == -1)return;m_Edge[v1index][v2index] = m_Edge[v2index][v1index] = MAX_WEIGHT;
}
int Graph::GetVertexIndex(char v)
{int i;for (i = 0; i < m_NumVertex; i++){if (m_Vertex[i] == v)return i;}return -1; //如果没有找到
}
void Graph::ShowGraph()
{int i, j;cout << " ";for (i = 0; i < m_NumVertex; i++)cout << m_Vertex[i] << " ";cout << endl;for (i = 0; i < m_NumVertex; i++){cout << m_Vertex[i] << " ";for (j = 0; j < m_NumVertex; j++){if (m_Edge[i][j] == MAX_WEIGHT)cout << "* ";elsecout << m_Edge[i][j] << " ";}cout << endl;}
}void main()
{Graph g;g.InsertVertex('a');g.InsertVertex('b');g.InsertVertex('c');g.InsertVertex('d');g.InsertEdge('a', 'b',5);g.InsertEdge('a', 'c',8);g.InsertEdge('a', 'd',3);g.InsertEdge('b', 'c',6);g.InsertEdge('c', 'd',4);g.ShowGraph();g.DeleteEdge('a', 'd');g.ShowGraph();
}3.邻接表存储有向图（不含权重）
核心代码
int Graph::GetVertexIndex(char v) //得到顶点所在下标
{int i;for (i = 0; i < m_NumVertex; i++){if (m_VerArr[i].m_value == v)return i;}return -1;
}
void Graph::InsertVertex(char v) //插入顶点
{if (m_NumVertex >= m_MaxVertex)return;m_VerArr[m_NumVertex++].m_value = v;
}void Graph::InsertEdge(char v1, char v2) //插入边
{int p1index = GetVertexIndex(v1);int p2index = GetVertexIndex(v2);if (p1index == -1 || p2index == -1)return;//v1-v2Edge* p = new Edge(p2index);p->m_next = m_VerArr[p1index].m_list;m_VerArr[p1index].m_list = p;//v2-v1p = new Edge(p1index);p->m_next = m_VerArr[p2index].m_list;m_VerArr[p2index].m_list = p;
}完整代码
#include<iostream>
using namespace std;
#define SIZE 10
class Edge
{
public:Edge() :m_next(NULL) {}Edge(int index) :m_destindex(index), m_next(NULL) {}int m_destindex;Edge* m_next;
};
class Vertex
{
public:Vertex() :m_list(NULL) {}Vertex(char v) :m_value(v), m_list(NULL) {}char m_value;Edge* m_list;
};
class Graph
{
public:Graph();~Graph();void InsertVertex(char v);void InsertEdge(char v1, char v2);int GetVertexIndex(char v);void ShowGraph();void DeleteEdge(char v1, char v2);void DeleteVertex(char v);
private:int m_MaxVertex;int m_NumVertex;//Vertex* m_VerArr;Vertex m_VerArr[SIZE];
};
void Graph::ShowGraph() //输出图
{Edge* p = NULL;for (int i = 0; i < m_NumVertex; i++){cout << i << " " << m_VerArr[i].m_value << "->";p = m_VerArr[i].m_list;while (p != NULL){cout << p->m_destindex << "->";p = p->m_next;}cout << "nul" << endl;}
}
void Graph::DeleteVertex(char v) //删除顶点
{int vindex = GetVertexIndex(v);if (vindex == -1)return;Edge* p = m_VerArr[vindex].m_list;char destVertex;while (p != NULL){destVertex = m_VerArr[p->m_destindex].m_value;DeleteEdge(v, destVertex);p = m_VerArr[vindex].m_list;}//覆盖m_NumVertex--;m_VerArr[vindex].m_value = m_VerArr[m_NumVertex].m_value;m_VerArr[vindex].m_list = m_VerArr[m_NumVertex].m_list;p = m_VerArr[vindex].m_list;Edge* q = NULL;while (p != NULL){int k = p->m_destindex;q = m_VerArr[k].m_list;while (q != NULL){if (q->m_destindex == m_NumVertex){q->m_destindex = vindex;break;}q = q->m_next;}p = p->m_next;}
}
void Graph::DeleteEdge(char v1, char v2) //删除边
{int p1index = GetVertexIndex(v1);int p2index = GetVertexIndex(v2);if (p1index == -1 || p2index == -1)return;//v1-v2Edge* pf = NULL;Edge* p = m_VerArr[p1index].m_list;while (p != NULL && p->m_destindex != p2index){pf = p;p = p->m_next;}if (p == NULL)return;if (pf == NULL){m_VerArr[p1index].m_list = p->m_next;}else{pf->m_next = p->m_next;}delete p;//v2 - v1pf = NULL;p = m_VerArr[p2index].m_list;while (p->m_destindex != p1index){pf = p;p = p->m_next;}if (pf == NULL)m_VerArr[p2index].m_list = p->m_next;elsepf->m_next = p->m_next;delete p;p = NULL;
}
int Graph::GetVertexIndex(char v) //得到顶点所在下标
{int i;for (i = 0; i < m_NumVertex; i++){if (m_VerArr[i].m_value == v)return i;}return -1;
}
void Graph::InsertVertex(char v) //插入顶点
{if (m_NumVertex >= m_MaxVertex)return;m_VerArr[m_NumVertex++].m_value = v;
}
Graph::Graph()
{m_MaxVertex = SIZE;m_NumVertex = 0;//m_VerArr = new Vertex[m_MaxVertex];
}
Graph::~Graph()
{
/* if (m_VerArr != NULL){delete[]m_VerArr;m_VerArr = NULL;}*/m_NumVertex = 0;
}
void Graph::InsertEdge(char v1, char v2) //插入边
{int p1index = GetVertexIndex(v1);int p2index = GetVertexIndex(v2);if (p1index == -1 || p2index == -1)return;//v1-v2Edge* p = new Edge(p2index);p->m_next = m_VerArr[p1index].m_list;m_VerArr[p1index].m_list = p;//v2-v1p = new Edge(p1index);p->m_next = m_VerArr[p2index].m_list;m_VerArr[p2index].m_list = p;
}
void main()
{Graph g;g.InsertVertex('a');g.InsertVertex('b');g.InsertVertex('c');g.InsertVertex('d');g.InsertEdge('a', 'b');g.InsertEdge('a', 'c');g.InsertEdge('a', 'd');g.InsertEdge('b', 'c');g.InsertEdge('c', 'd');//测试：cout << "显示存储信息" << endl;g.ShowGraph();cout << "删除边后的存储信息" << endl;g.DeleteEdge('a', 'c');g.ShowGraph();cout << "删除顶点" << endl;g.DeleteVertex('a');g.ShowGraph();
}
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