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10级

2008-09-07 回答

RT 就是直角

勾股定理

欧几里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：

(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

同理，(BC)2=KEBL

所以

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗(Bhaskara，活跃于1150年前后)对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，

婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

c/b=b/m，

c/a=a/n,

cm=b2

cn=a2

两边相加得

a2+b2=c(m+n)=c2

这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

有几位美国总统与数学有着微妙联系。G华盛顿曾经是一个著名的测量员。T杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德(Garfield, 1831～1888)，他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，(当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统)给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得

即

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。

关于这个定理，有许多巧妙的证法(据说有近400种)，下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。

证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。

过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为

AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

所以 △ACE≌△AGB

SAEML=SACFG (1)

同法可证

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2)得

SABDE=SACFG+SBKHC，

即 c2=a2+b2

证法2 如图26-3(赵君卿图)，用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。

SCFGH=SABED+4×SABC，

所以 a2+b2=c2

证法3 如图26-4(梅文鼎图)。

在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明(从略)，延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设

五边形ACKDE的面积=S

一方面，

S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积

=c2+ab (1)

另一方面，

S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积

+2倍△ABC面积

=b2+a2+ab. (2)

由(1)，(2)得

c2=a2+b2

证法4 如图26-5(项名达图)，在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ(图26-5)。可以证明(从略)，GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。

设五边形EKJBD的面积为S。一方面

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

另一方面，

S=SBEFG+2S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

由(1)，(2)

得出论证

都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理)图见 http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc

勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期