深度学习基础 - 累加符号和连乘符号

2024-04-12 19:17:01

深度学习基础 - 累加符号和连乘符号

flyfish

累加符号其他名字 Sigma Notation 、Summation Notation

示例1

∑i=15i=1+2+3+4+5\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{5} i\\ &=1+2+3+4+5 \end{aligned}i=1∑5i=1+2+3+4+5

示例2

∑i=37i=3+4+5+6+7\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{i=3}^{7} i\\ &=3+4+5+6+7 \end{aligned}i=3∑7i=3+4+5+6+7

示例3

∑i=252i=2(2)+2(3)+2(4)+2(5)=4+6+8+10\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{i=2}^{5} 2 i\\ &=2(2)+2(3)+2(4)+2(5)\\ &=4+6+8+10 \end{aligned}i=2∑52i=2(2)+2(3)+2(4)+2(5)=4+6+8+10

示例4

∑j=14jx=1x+2x+3x+4x\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{j=1}^{4} j x\\ &=1 x+2 x+3 x+4 x \end{aligned}j=1∑4jx=1x+2x+3x+4x

示例5

∑i=12∑j=46(3ij)=∑i=12(3i⋅4+3i⋅5+3i⋅6)=(3⋅1⋅4+3⋅1⋅5+3⋅1⋅6)+(3⋅2⋅4+3⋅2⋅5+3⋅2⋅6)\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=4}^{6}(3 i j)\\ &=\sum_{i=1}^{2}(3 i \cdot 4+3 i \cdot 5+3 i \cdot 6)\\ &=(3 \cdot 1 \cdot 4+3 \cdot 1 \cdot 5+3 \cdot 1 \cdot 6)+(3 \cdot 2 \cdot 4+3 \cdot 2 \cdot 5+3 \cdot 2 \cdot 6) \end{aligned}i=1∑2j=4∑6(3ij)=i=1∑2(3i⋅4+3i⋅5+3i⋅6)=(3⋅1⋅4+3⋅1⋅5+3⋅1⋅6)+(3⋅2⋅4+3⋅2⋅5+3⋅2⋅6)

示例6

∑k=1∞(k+1)3=23+33+⋯n3+⋯\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(k+1)^{3}=2^{3}+3^{3}+\cdots n^{3}+\cdotsk=1∑∞(k+1)3=23+33+⋯n3+⋯

连乘符号其他名字 Pi Notation、Product Notation

示例1

∏i=37i=(3)(4)(5)(6)(7)\displaystyle \begin{aligned} &\prod_{i=3}^{7} i\\ &=(3)(4)(5)(6)(7) \end{aligned}i=3∏7i=(3)(4)(5)(6)(7)

示例2

∏i=16i2=(1)(4)(9)(16)(25)(36)\displaystyle \prod_{i=1}^{6} i^{2}=(1)(4)(9)(16)(25)(36)i=1∏6i2=(1)(4)(9)(16)(25)(36)

示例3

∏i=12∏j=46(3ij)=∏i=12((3i⋅4)(3i⋅5)(3i⋅6))=((3⋅1⋅4)(3⋅1⋅5)(3⋅1⋅6))((3⋅2⋅4)(3⋅2⋅5)(3⋅2⋅6))\displaystyle \begin{aligned} &\prod_{i=1}^{2} \prod_{j=4}^{6}(3 i j)\\ &=\prod_{i=1}^{2}((3 i \cdot 4)(3 i \cdot 5)(3 i \cdot 6))\\ &=((3 \cdot 1 \cdot 4)(3 \cdot 1 \cdot 5)(3 \cdot 1 \cdot 6))((3 \cdot 2 \cdot 4)(3 \cdot 2 \cdot 5)(3 \cdot 2 \cdot 6)) \end{aligned}i=1∏2j=4∏6(3ij)=i=1∏2((3i⋅4)(3i⋅5)(3i⋅6))=((3⋅1⋅4)(3⋅1⋅5)(3⋅1⋅6))((3⋅2⋅4)(3⋅2⋅5)(3⋅2⋅6))

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