Introduction to Linear Optimization 2.2 极点，顶角与基可行解

1.极点

极点的定义及理解

Definition 2.6 Let P be a polyhedron. A vector x ∈ P is an extreme point of P if we cannot find two vectors y, z ∈ P, both different from x, and a scalar λ ∈ [0,1], such that x = λy + (1 - λ)z.

定义中给出了一种严格证明极点 (extreme point) 的方法，即：极点无法被另外两个点的线性组合表示出。若我们想用概括性的图像思维来描述极点的话，请先看下图（所有的极点都已用字母标出）
通过观察不难发现，所有的极点都是凸集的“角(corner)”，即：你无法找到相异的两点，使得这些“角”在这两点的连线上。这就是我对于极点的直观几何理解。
当然，这是在二维平面上的，这里希望读者自己去思考在3,4,…,n维情况下，极点究竟如何定义。

2.顶角

顶角的定义

Definition 2.7 Let P be a polyhedron, A vector x ∈ P is a vertex of P if there exists some c such that c’x < c’y for all y satisfying y ∈ P and y ≠ x.

即在多面体内存在某点 x，存在一个与 x 维数相同的向量 c，二者内积为该多面体内所有元素与 c 的内积的最小值。这样的点，我们称之为顶角（vertex）。

声明：关于“顶角(vertex)”的翻译，引用于“规范场论中的非微扰方法和置换群方法研究¹”，若有更好的翻译，欢迎前来指正！

顶角的理解

我们不妨仍以这张图为例：
通过顶角的定义我们不难看出，顶角一般只有一个（这里先不讨论无穷多的情况）。假设我们选取 c’ = (1,1)，不难发现，O点即为顶角（0×1 + 0×1 = 0），除了O点之外，无法再找出任何一个点与 c’ 的内积小于0。

但是我们的 c’ 如果变为 (-1,-2) ，会发生什么情况呢？

显然，该凸集的顶角变为了B点

通常情况下，这里所描述的顶角就代表着线性规划中的最优解，但是线性规划的解又存在唯一最优解与无穷多最优解的情况，因此在实际情况中，也会存在多个顶角的情况。

严格约束

Definition 2.8 If a vector x* satisfies a^*_ix^* = b_i for some i = 1,2,3…,k, we say that the corresponding constraint is active or binding at x^*.

在定义2.8中，描述了严格约束的情况。由于线性规划是由等式约束与不等式约束所构成的，若存在某可行解，则该解必然满足等式约束，此时称此等式约束为严格约束。同理，当某可行解满足不等式约束的同时，使该不等式变为了等式约束（例：约束x₁ + 2x₂ ≤ 5，当有解满足 x₁ + 2x₂ = 5时，我们称在该解的情况下，该不等式为严格约束），我们就称该不等式为严格约束。

基可行解

严格约束与基可行解的关系

我们在本节前半部分使用了极点，顶角等几何手段来描述凸集的几何构造，然后又引入了严格约束，现将二者联系起来，从几何与代数两个角度来描述基解，基可行解等概念

Definition 2.9 Consider a polyhedron P defined by linear equality and inequality constraints, and let x* be an element of Rⁿ.
(a) The vector x* is a basic solution if:

All equality constraints are active;
Out of the constraints that are active at x*, there are n of them that are linearly independent.

(b) If x* is a basic solution that satisfies all of the constraints, we say that it is a basic feasible solution.

在定义2.9(a)的情况下，当n维向量x满足所有等式约束且满足n个线性独立的约束时，x被称为基解。当基解满足所有约束时，基解变为基可行解。

如何理解这个定义呢？不妨来看下面这张图：

本图灰色部分代表可行域，各个字母所代表的点为基解，但是只有在可行域内的基解才为基可行解。

我们以A点为例，其在维数 n = 2 的情况下满足了两个严格约束（x ≥ 0与直线AC所代表的约束），且这两个约束是线性独立的，因此根据定义2.9，我们不难得知A点代表了一个基解，但是由于其不满足其它不等式约束（不在可行域内部）因此A并非一个基可行解。

注：在n维情况下，若某线性规划问题只存在m个约束条件（m < n）那么即使所有的约束都成为严格约束，严格约束的数量(m)也小于空间的维数(n)，此时该线性规划问题不存在基解或是基可行解。

经过上述的思考，不难得出以下定理：
Theorem 2.3 Let P be a nonempty polyhedron and let x* ∈ P. Then, the fellowing are equivalent:

x* is a vertex;
x* is an extreme point;
x* is a bisic feasible solution.

注：上述三个条件互相等价，可以互相代换。

邻接基解

对于同一个线性规划问题，若存在两个不同的基解，且这两个基解所满足的严格不等式恰有n - 1个相同，则称这两个基解是邻接的。

废话不多说，直接上图理解：

还是这张图，A,D,O三个基解互为邻接基解，因为在n = 2的情况下，只要满足1个（1 = n -1）相同的严格约束即为邻接基解，即该图中所有在同一条直线上的基解互为邻接基解，但如B,O两基解就不为邻接基解，因为两个基解不满足任何相同的严格约束。

小节

本节仍是介绍线性规划的基础知识，为后续更好的理解单纯形法等内容做铺垫，扎实的理解每一节的内容固然会让后面的学习更加轻松，但是罗马不是一天建成的，扎实的基本功需要反复的操练，线性规划前期的基础内容看不懂也要反复的理解。极点，顶角，基解及基可行解等这些概念通过联系图之后并没有特别大的难度。我也会尽力保证更新的速度，共勉！

参考文献

[1] Dimitris Bertsimas,John N. Tsitsiklis . Introduction to Linear Optimization[M]. 1997: 46-53
[2] 艾德臻. 规范场论中的非微扰方法和置换群方法研究[D]. 西北师范大学, 2007.

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