卡特兰数通项公式详细推导过程

设法求解下面这个递归式或给出其最低上界的阶，设P(1)=1P(1)=1P(1)=1
P(n)=∑k=1n−1P(k)P(n−k)P(n)=\sum^{n-1}_{k=1}P(k)P(n-k) P(n)=k=1∑n−1P(k)P(n−k)

易知P(n)P(n)P(n)就是卡特兰数，下面用生成函数法求解出其通项公式。

设生成函数为：
g(x)=h(1)x+h(2)x2+...+h(k)xk+...g(x)=h(1)x+h(2)x^2+...+h(k)x^k+... g(x)=h(1)x+h(2)x2+...+h(k)xk+...
将g(x)g(x)g(x)与自身相乘，得：
[g(x)]2=h(1)2x2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x3+...+[h(1)h(k−1)+h(2)h(k−2)+...+h(k−1)h(1)]xk+...[g(x)]^2=h(1)^2x^2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x^3+... \\ +[h(1)h(k-1)+h(2)h(k-2)+...+h(k-1)h(1)]x^k+... [g(x)]2=h(1)2x2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x3+...+[h(1)h(k−1)+h(2)h(k−2)+...+h(k−1)h(1)]xk+...
将P(n)P(n)P(n)的递归式带入，得：
[g(x)]2=h(2)x2+h(3)x3+...+h(k)xk=g(x)−h(1)x⇒[g(x)]2−g(x)+x=0⇒g1(x)=1+1−4x2,g2(x)=1−1−4x2[g(x)]^2=h(2)x^2+h(3)x^3+...+h(k)x^k=g(x)-h(1)x \\ \Rightarrow [g(x)]^2-g(x)+x=0\\ \Rightarrow g_1(x)=\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2},g_2(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2} [g(x)]2=h(2)x2+h(3)x3+...+h(k)xk=g(x)−h(1)x⇒[g(x)]2−g(x)+x=0⇒g1(x)=21+1−4x,g2(x)=21−1−4x
由于g(0)=0g(0)=0g(0)=0，故g2(x)g_2(x)g2(x)为唯一解。
g(x)=12−12(1−4x)12g(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(1-4x)^\frac{1}{2} g(x)=21−21(1−4x)21
根据牛顿二项式定理，可知：
(1−4x)12=∑k=0∞12(12−1)...(12−k+1)k!(−4x)k=1+∑k=1∞(−1)kk!∗2k∏i=1k(2i−3)(−4x)k=1+∑k=1∞(−1)kk!∗2k−1∗(2k−2)!2∗4∗...∗(2k−2)(−4x)k=1+∑k=1∞(−1)kk!∗2k−1∗(2k−2)!2k−1(k−1)!(−4x)k=1−2∗∑k=1∞(2k−2)!k!∗(k−1)!xk=1−2∗∑k=1∞2k(2k−2k−1)xk(1-4x)^\frac{1}{2}=\sum^\infty_{k=0}\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)...(\frac{1}{2}-k+1)}{k!}(-4x)^k\\ =1+\sum^\infty_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!*2^k}\prod_{i=1}^{k}(2i-3)(-4x)^k\\ =1+\sum^\infty_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!*2^k}\frac{-1*(2k-2)!}{2*4*...*(2k-2)}(-4x)^k\\ =1+\sum^\infty_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!*2^k}\frac{-1*(2k-2)!}{2^{k-1}(k-1)!}(-4x)^k\\ =1-2*\sum^\infty_{k=1}\frac{(2k-2)!}{k!*(k-1)!}x^k\\ =1-2*\sum^\infty_{k=1}\frac{2}{k}\begin{pmatrix}2k-2\\k-1\end{pmatrix}x^k (1−4x)21=k=0∑∞k!21(21−1)...(21−k+1)(−4x)k=1+k=1∑∞k!∗2k(−1)ki=1∏k(2i−3)(−4x)k=1+k=1∑∞k!∗2k(−1)k2∗4∗...∗(2k−2)−1∗(2k−2)!(−4x)k=1+k=1∑∞k!∗2k(−1)k2k−1(k−1)!−1∗(2k−2)!(−4x)k=1−2∗k=1∑∞k!∗(k−1)!(2k−2)!xk=1−2∗k=1∑∞k2(2k−2k−1)xk

代入g(x)g(x)g(x)，可得：
g(x)=∑k=1∞1k(2k−2k−1)xkg(x)=\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{k}\begin{pmatrix}2k-2\\k-1\end{pmatrix}x^k g(x)=k=1∑∞k1(2k−2k−1)xk
故卡特兰数通项为：
P(n)=1n(2n−2n−1),n≥1P(n)=\frac{1}{n}\begin{pmatrix}2n-2\\n-1\end{pmatrix},\qquad n\geq1 P(n)=n1(2n−2n−1),n≥1

注意此时n≥1n \geq 1n≥1，n≥0n\geq0n≥0时的通项公式就不再推导了，由于P(0)=1P(0)=1P(0)=1，因此结果为：
P(n)=1n+1(2nn),n≥0P(n)=\frac{1}{n+1}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix},\qquad n\geq0 P(n)=n+11(2nn),n≥0

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