前言：

本章介绍幻方的基本知识，同时利用Matlab 和 Python 构造简单的幻方方阵。

最后用幻方结合图像，展示了一个渐进的魔幻效果。

幻方定义：

简单介绍
幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。

幻方包括：奇数幻方、单偶数幻方和双偶数幻方
单偶数幻方（即4n+2式）：幻方阶数n为不能被4整除的偶数，比如6、10、14
双偶数幻方（即4n式）：幻方行列数n能被4整除的幻方，比如4、8、12

1算法说明：

1.1 杨辉九宫图构造3解幻方：

1.2 奇数阶幻方构造：

1.第0行最中间为1
2.下一个位置是右上方，如5、6；若越界，将沿行、列方向看成环形，如2、3
3.若当前位置是n的倍数，表示一条对角线已满，则下一个位置是本列下一行，如4、7

1.3 双偶数阶幻方构造：

1.3.1 简单的4阶的幻方构造：

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，nn+1 = 44+1 = 17；
把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

用Matlab如下：

>> A = magic(4)A =16     2     3    135    11    10     89     7     6    124    14    15     1

1.3.2 n = 4k 的双偶数幻方

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按44把它划分成kk个方阵。因为n是4的倍数，一定能用44的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

以 n = 8为例：

将n * n个数从小到大，从左到右，从上到下依次填入方阵中，遇到4 * 4小方阵的对角线不填（此位置不填的数不作为下一个位置填入的数），再将n * n个数从大到小，从左到右，从上到下依次填入方阵中4 * 4小方阵的对角线上，其他位置不填（此位置不填的数不作为下一个位置填入的数）

Python的实现代码摘要如下：

import java.util.Scanner;
public class MagicSquare {public static void main(String[] args) {System.out.println("请选择想输出幻方的阶数：");Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int array[][] = new int[n][n];if (n%2!=0){  //奇数阶oddMagic(n,array);}else if (n%4!=0){  //单偶数阶return;}else{  //双偶数阶doubleEvenMagic(n,array);}printSquare(array);}public static void oddMagic(int n,int array[][]){int i = 0;int j = n/2;for (int k = 1; k <= n*n; k++) {array[i][j] = k;if (k%n==0) {  //如果当前数字是n的倍数，向下走i++;}else{  //如果当前数字不是n的倍数，向左上走i--;j++;if (i<0) i=n-1;if (j>n-1) j=0;}}}public static void doubleEvenMagic(int n,int array[][]){int c1=1,c2=n*n;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (i%4==j%4||(i+j)%4==3){  //对角线则反排array[i][j] = c2;}else{  //非对角线正排array[i][j] = c1;}c2--;c1++;}}}public static void singleEvenMagic(int n,int array[][]){System.out.println("思考ing...待更新...");}public static void printSquare(int array[][]){for (int i = 0; i < array.length; i++) {for (int j = 0; j < array[i].length; j++) {System.out.printf("%4d",array[i][j]);}System.out.println();}}
}
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版权声明：本文为CSDN博主「绀香零八」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_45475271/article/details/104624990

1.3 单偶数阶幻方构造：

单偶阶幻方：n 为偶数，且不能被4整除

n=6，10，14，18，22……

n=4k+2，k=1，2，3，4，5……

所谓单偶数, 指的是形如n=2(2m+1)的偶数, 其中m为自然数。即能被2除尽, 而不能被4除尽的偶数。双偶数自然就是能被4除尽的偶数。

单偶数阶幻方的构造比双偶数阶幻方、奇数阶幻方的构造更加困难。

二步法是构造奇数阶幻方的利器, 能否由n=2m+1阶幻方产生n=2(2m+1)阶幻方, 其中m为自然数？能, 有经典的斯特雷奇（Ralph Strachey）法和LUX法。

我们的四步法(不包括构造奇数阶幻方时的那两步), 可给读者提供另一种选择, 三种方法对同一个n=2m+1阶幻方而言, 所产生的n=2(2m+1)阶幻方是完全不同的。

方法1：【案，具体参阅参考3】

方法2：【案，具体参阅参考4】

摘录以 n = 10 为例：此时，依据公式n=4k+2，k=2,

先把方阵分为如下 A、B、C、D 四个象限，每一个象限都是奇数幻方

用罗伯法，按顺序在 A、B、C、D 象限填数

自 A 象限的中间行、中间列开始，自左向右，标出 k 格。A 象限的其他行则标出最左边的 k 格
D 象限同上

将 A、D 象限标出的这些格互换位置

自 C 象限的中间列起，自右向左，标出 k-1 列
B 象限同上
* 注：6 阶幻方由于 k-1=0，所以不用再做 C、B 象限的数据交换

将 C、B 象限标出的这些格互换位置，10 阶幻方即已完成

2 Matlab 的幻方函数：

M = magic(n) returns an n-by-n matrix constructed from the integers 1 through n2 with equal row and column sums. The order n must be a scalar greater than or equal to 3 in order to create a valid magic square.

函数返回一个幻方矩阵，n 大于等于 3.

例如，3阶幻方

M = magic(3)
M = 3×38     1     63     5     74     9     2

sum(M)
ans = 1×315    15    15

单偶数8阶幻方

>> A = magic(8)A =64     2     3    61    60     6     7    579    55    54    12    13    51    50    1617    47    46    20    21    43    42    2440    26    27    37    36    30    31    3332    34    35    29    28    38    39    2541    23    22    44    45    19    18    4849    15    14    52    53    11    10    568    58    59     5     4    62    63     1

>> sum(A)ans =260   260   260   260   260   260   260   260

3 幻方的图示展示：

Visually examine the patterns in magic square matrices with orders between 9 and 24 using imagesc. The patterns show that magic uses three different algorithms, depending on whether the value of mod(n,4) is 0, 2, or odd.

使用 imagesc 观察 9 阶到 24 阶幻方矩阵的图案。这些图案表明 magic 使用三种不同的算法，取决于 mod(n,4) 的值是 0、2 还是奇数。

for n = 1:16subplot(4,4,n)ord = n+8;m = magic(ord);imagesc(m)title(num2str(ord))axis equalaxis off
end

参考：

(2条消息) n阶幻方【MagicSquare】_绀香零八的博客-CSDN博客

Magic square - MATLAB magic (mathworks.com)

由奇数阶幻方构造单偶数阶幻方的四步法:10阶幻方 - 知乎 (zhihu.com)

[图文]Excel VBA(19) – n阶单偶数幻方算法_单偶数阶幻方_www.wanmei.la

单偶幻方浅探 - 知乎 (zhihu.com)

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