《Java常用算法手册》

引言

图(Graph)结构也是一种非线性数据结构，图结构在实际生活中有非常丰富的例子，例如：通讯网络，交通网络，人际关系网络等都可以归结为图结构。图结构的组织形式要比树结构更为复杂，因此，图结构对存储和遍历等操作具有更高的要求。

区别树结构

图结构是比树结构复杂的数据结构。在树结构中，结点具有分支层次关系，每一层上的结点只能和上层中的至多一个结点相关，但可能和下一层的多个结点相关。而在图结构中，任意两个结点之间都可能相关，结点之间相邻的关系可能是任意的。

图结构

了解了树结构，如果将树结构规则进一步扩展，每个数据元素之间可以任意关联，这就构成了一个图结构。正是这种任意关联性导致了图结构中数据关系的复杂性。研究图结构的一个专门理论工具叫图论。(图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。)

图1：典型的图结构(无向图)

图2：有向图

图结构包含如下内容：

顶点(Vertex)：因为图中的顶点具有相对概念，没有固定的位置

边(Edge)：图中链接这些顶点的线

所有的顶点构成一个顶点集合，顶点的边构成边集合，一个完整的图结构由顶点集合和边集合组成。图结构在数学上一般记为以下形式：G =(V，E)

或者

G =(V(G)，E(G))

其中，V(G)表示图结构中所有顶点的集合，顶点可以用不同的数字或者字母表示。E(G)是图结构中所有的边集合，每条边由所连接的两个顶点表示。(注意：图结构中顶点集合V(G)必须为非空，即必须包含一个顶点。而图结构中边 集合E(G)是可以为空，此时表示没有边)

图结构

1)无向图

如果一个图结构中，所有的边都没有方向性，那么这种图便成为无向图。(如上图1)则图1对应的顶点集合和边集合如下：

V(G)={V1,V2,V3,V4,V5,V6}

E(G)={(V1,V2),(V1,V5),(V2,V4),(V3,V5),(V1,V3),(V5,V6),(V4,V6)}    //每个边用圆括号区分

2)有向图

如果一个图结构中，边有方向性，那么这种图便成为有向图。典型的有向图(上图2)，由于有向图的边具有方向性，这样，在表示边的时候对两个顶点有顺序要求。并且为了同无向图区分，采用尖括号表示有向边。例如：表示从顶点V3到顶点V4的一条边，而表示从顶点V4到顶点V3的一条边。则图2(有向图)对应的顶点集合和边集合如下：

V(G)={V1,V2,V3,V4,V5,V6}

E(G)={,,,,,,,,}    //每个边用尖括号表示

3)顶点的度(Degree)

连接顶点的边的数量称为该顶点的度。顶点的度在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图，一个定点的度比较简单，为：连接该顶点的边的数量。D(V).例如图1：D5=3，D6=2

对于有向图，根据连接顶点的V的边的方向性，一个顶点有入度和出度。

ID(V)，入度：该顶点为端点的入边的数量。

OD(V),出度：该顶点为端点的出边的数量。

因此，有向图中，一个顶点的总度是入度和出度的和。即D(V)=ID(V)+OD(V),图2：D(V3)=ID(V3)+OD(V3)=2+1=3

4)邻接顶点：图结构中一条边的两个顶点。

图1中(V1，V5)互为邻接顶点(无向图)

图2中 这条边的两个顶点：V1是V2的入边邻接顶点，V2是V1的出边邻接顶点。

5)无向完全图

每两个顶点之间，都存在一条边，那么这种图结构称为无向完全图,理论证明：其边总数为=N(N-1)/2

图3：无向完全图

6)有向完全图

在有向图中，每两个顶点都存在方向相反的两条边。理论证明：对于一个包含N个顶点的有向完全图，其总的边数为：N(N-1)

图4：有向完全图

7)子图

子图的概念类似与子集合，由于一个完整的图结构包括顶点和边，因此，一个子图的顶点和边都应该是另一个图结构的子集合。

8)路径

路径即图结构中两个顶点之间的连线，路径上边的数量称为路径的长度。两个顶点之间的路径可能经过途径多个其他顶点，两个顶点之间的路径也可能不止一条，相应的路径长度可能不一样。

图5：图结构中的一条路径

图5中，虚线部分，显示了顶点V5到V2之间的一条路径，这条路径途径顶点V4，途径的边依次为(V5，V4),(V4，V2),路径的长度为：2

图结构中的路径还可以细分如下三种形式：

简单路径：在图结构中，如果一条路径上顶点不重复出现，则称为简单路径。

环：图结构中，如果路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则称之为环，有时也称回路。

简单回路：图结构中，如果除第一个顶点和最后一个顶点相同，其余各顶点都不重复的回路称为简单回路。

9)连通、连通图、连通量

通过路径的概念，进一步说明图结构的连通关系：

如果图结构中两个顶点之间有路径，则称两个顶点是连通的。这里说明下连通的两个顶点可以是不相邻的，只要有路径连接即可，可以途径多个顶点。

如果无向图中任意两个顶点是连通的，那么这个图便成为连通图。如果无向图中包含两个顶点是不连通的，则这个图称为非连通图。

无向图的极大连通子图称为该图的联通分量。

理论证明，对于一个连通图，其连通分量有且只有一个，那就是该连通图自身。而对于一个分连通图，则有可能存在多个连通分量。例如，图6是一个非连通图，因为V2到V3没有路径。这个非连通图包含两个连通分量：联通分量1：(V1，V2，V5),连通分量2：(V3，V4)

图6：非连通图

连通分量1，和连通分量2

图7：连通分量1，2

10)强连通图和强连通分量

与无向图类似，在有向图中也有连通的概念，主要涉及如下内容：

如果两个顶点之间有路径，也成为这两个顶点是连通的。需要注意的是，有向图中的边是有方向的。因此，有时从Vi 到 Vj 是连通的，但是反过来却不一定连通。

如果有向图中任意两个顶点都是连通的，则称该图为强连通图。如果有向图中包含两个顶点不是连通的，则称该图为非强连通图。

有向图的极大强连通子图称为该图的强连通量。

理论上可以证明，强连通图只有一个强连通分量，即为该图自身。而对于一个非强连通图，则可能存在多个强连通图分量。例如，图8，顶点V2到顶点V3没有路径。这个非强连通图有两个强连通分量。

图8：非强连通图

11)权

在前面讲述的过程中，各个边没有赋予任何含义。在实际的应用中，往往需要将边表示成某种数值，这个数值便是该边的权(Weight)。无向图中加入权值，则称为无向带权图。有向图中加入权值，则称为有向带权图。(图9，图10)

权在实际应用中可以代表各种含义，例如，在交通图表示道路的长度，在通信网络中表示基站之间的距离，在人际关系中，表示亲密的程度。

图9：无向带权图

图10：有向带权图

12)网(Network)

网即边上带有权值的图的另一种名称。网的概念与实际应用更为贴切。