二次剩余--欧拉准则

在数论中，二次剩余的 欧拉判别法（又称 欧拉准则）是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。

叙述

若是奇质数且不能整除，则：

是模

的二次剩余当且仅当：

是模

的非二次剩余当且仅当：

以勒让德符号表示，即为：

举例

例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数

令a = 17。对于怎样的质数p，17是模p的二次剩余呢？

根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。

首先测试p = 3。我们有：17^{(3 − 1)/2} = 17¹ ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3)，因此17不是模3的二次剩余。

再来测试p = 13。我们有：17^{(13 − 1)/2} = 17⁶ ≡ 1 (mod 13)，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有：17 ≡ 4 (mod 13)，而2² = 4.

运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到：

对于质数p =

，(17/p) = +1（也就是说17是模这些质数的二次剩余）。

对于质数p =

，(17/p) = -1（也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。

例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余

哪些数是模17的二次剩余？

我们可以手工计算：

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25 ≡ 8 (mod 17)

6² = 36 ≡ 2 (mod 17)

7² = 49 ≡ 15 (mod 17)

8² = 64 ≡ 13 (mod 17)

于是得到：所有模17的二次剩余的集合是。要注意的是我们只需要算到8，因为9=17-8，9的平方与8的平方模17是同余的：9² = (−8)² = 8² ≡ 13 (mod 17).（同理不需计算比9大的数）。

但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算3^{(17 − 1)/2} = 3⁸ ≡ 81² ≡ ( − 4)² ≡ − 1 (mod 17)，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。

欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义欧拉-雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。

证明

首先，由于是一个奇素数，由费马小定理，。但是是一个偶数，所以有

是一个素数，所以和中必有一个是的倍数。因此模的余数必然是1或-1。

证明若是模的二次剩余，则

若是模的二次剩余，则存在，跟互质。根据费马小定理得：

证明若，则是模的二次剩余

是一个奇素数，所以关于的原根存在。设是的一个原根，则存在使得。于是

是的一个原根，因此模的指数是，于是整除。这说明是一个偶数。令，就有。是模