3.2 图像几何变换—

理论

设原始图像的任意点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0(x0,y0) 经顺时针旋转 β\betaβ 角度后到新的位置 P(x,y)P(x,y)P(x,y)，为表示方便，采用极坐标形式表示，原始点的角度为 α\alphaα。根据极坐标与直角坐标的关系，原始图像的点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0(x0,y0) 的极坐标为

{x0=rcosαy0=rsinα\left\{ \begin{matrix} x_0 = r {\rm cos} \alpha \\ y_0 = r {\rm sin} \alpha \end{matrix} \right. {x0=rcosαy0=rsinα

旋转到新位置以后 P(x,y)P(x, y)P(x,y) 的极坐标为

{x=rcos(α−β)=rcosαcosβ+rsinαsinβy=rsin(α−β)=rsinαcosβ−rcosαsinβ\left\{ \begin{matrix} x = r {\rm cos} (\alpha - \beta) = r{\rm cos}\alpha {\rm cos} \beta + r{\rm sin}\alpha {\rm sin}\beta\\ y = r {\rm sin} (\alpha - \beta) = r{\rm sin}\alpha {\rm cos} \beta - r{\rm cos}\alpha {\rm sin}\beta \end{matrix} \right. {x=rcos(α−β)=rcosαcosβ+rsinαsinβy=rsin(α−β)=rsinαcosβ−rcosαsinβ

由于旋转后的点 P(x,y)P(x, y)P(x,y) 需要用 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0(x0,y0) 表示，对上式进行简化，得

{x=x0cosβ+y0sinβy=−x0sinβ+y0cosβ\left\{ \begin{matrix} x = x_0 {\rm cos} \beta + y_0{\rm sin}\beta\\ y = -x_0 {\rm sin} \beta + y_0 {\rm cos}\beta \end{matrix} \right. {x=x0cosβ+y0sinβy=−x0sinβ+y0cosβ

用矩阵表示如下：

[xy1]=[cosβsinβ0−sinβcosβ0001][x0y01]\left[\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} {\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & 0\\ -{\rm sin} \beta & {\rm cos} \beta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{matrix}\right] ⎣⎡xy1⎦⎤=⎣⎡cosβ−sinβ0sinβcosβ0001⎦⎤⎣⎡x0y01⎦⎤

记上式中变换矩阵为

R=[cosβsinβ0−sinβcosβ0001]R = \left[\begin{matrix} {\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & 0\\ -{\rm sin} \beta & {\rm cos} \beta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] R=⎣⎡cosβ−sinβ0sinβcosβ0001⎦⎤
为旋转矩阵。

上述变换是针对原点的，如果指定了旋转中心，可以先按上述方式进行旋转，再把旋转后的中心平移到旋转前的中心。具体地，设旋转前的中线坐标为 C0(x0,y0)C_0(x_0, y_0)C0(x0,y0)，则旋转后的坐标为 C(x,y)C(x,y)C(x,y)，根据上面的关系，两个点的坐标关系即由上面矩阵变换确定。则旋转中心平移量为 CC0⃗=C0−C\vec{CC_0}=C_0 - CCC0=C0−C，代入 (x,y)(x,y)(x,y)，可得
CC0⃗=[ΔxΔy]=[x0−xy0−y]=[x0(1−cosβ)−y0sinβx0sinβ+y0(1−sinα)]\vec{CC_0}= \left[ \begin{matrix} \Delta x\\ \Delta y \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} x_0 - x\\ y_0 - y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} x_0(1-{\rm cos} \beta) - y_0{\rm sin}\beta\\ x_0 {\rm sin} \beta + y_0 (1 - {\rm sin}\alpha) \end{matrix} \right] CC0=[ΔxΔy]=[x0−xy0−y]=[x0(1−cosβ)−y0sinβx0sinβ+y0(1−sinα)]

根据上一节，则平移对应的平移矩阵为

T=[10Δx01Δy001]T = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & \Delta x\\ 0 & 1 & \Delta y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] T=⎣⎡100010ΔxΔy1⎦⎤

则旋转后再平移，对应矩阵为

M=TR=[10Δx01Δy001][cosβsinβ0−sinβcosβ0001]=[cosβsinβΔx−sinβcosβΔy001]=[cosβsinβx0(1−cosβ)−y0sinβ−sinβcosβx0sinβ+y0(1−sinα)001]M = TR = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & \Delta x\\ 0 & 1 & \Delta y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} {\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & 0\\ -{\rm sin} \beta & {\rm cos} \beta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} {\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & \Delta x\\ -{\rm sin} \beta & {\rm cos}\beta &\Delta y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} {\rm cos} \beta & {\rm sin} \beta & x_0(1-{\rm cos} \beta) - y_0{\rm sin}\beta \\ -{\rm sin} \beta & {\rm cos}\beta &x_0 {\rm sin} \beta + y_0 (1 - {\rm sin}\alpha)\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] M=TR=⎣⎡100010ΔxΔy1⎦⎤⎣⎡cosβ−sinβ0sinβcosβ0001⎦⎤=⎣⎡cosβ−sinβ0sinβcosβ0ΔxΔy1⎦⎤=⎣⎡cosβ−sinβ0sinβcosβ0x0(1−cosβ)−y0sinβx0sinβ+y0(1−sinα)1⎦⎤
对于 OPENCV 的

cv2.getRotationMatrix2D()

乘以缩放系数，并取了上述变换矩阵 MMM 的前两行（第三行恒为 [0,0,1][0,0,1][0,0,1]。

实现

代码

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef show(img):if img.ndim == 2:plt.imshow(img, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)else:img = cv.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2RGB)plt.imshow(img)plt.show()img = cv.imread('pic/rabbit500x333.jpg')
# 以（80，100）为中心，顺时针旋转45度
rotateM = cv.getRotationMatrix2D((80, 100), 45, 1)
img_rotate = cv.warpAffine(img, rotateM, dsize=(500, 500))
show(img_rotate)

效果

说明：

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本教程为《数字图像处理Python OpenCV实战》的配套代码相关内容。
免费视频教程为0-6章（标题号≤6），可在此处点击观看。
所有课件及源代码可在此处下载：
链接：https://pan.baidu.com/s/198PySe_vebO3e06idHSQ6g
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3.2 图像几何变换——旋转变换

理论

实现

代码

效果

3.2 图像几何变换——旋转变换相关推荐

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