1200 同余方程 2012年NOIP全国联赛提高组
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题目等级 : 钻石 Diamond
题目描述 Description
求关于 x 同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
输入描述 Input Description
输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用 一个 空格隔开。
输出描述 Output Description
输出只有一行包含一个正整数x0，即最小正整数解，输入数据保证一定有解。
样例输入 Sample Input
3 10
样例输出 Sample Output
7
数据范围及提示 Data Size & Hint
【数据范围】
对于 40% 的数据， 2 ≤b≤ 1,000 ；
对于 60% 的数据， 2 ≤b≤ 50,000,000
对于 100% 的数据， 2 ≤a, b≤ 2,000,000,000
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欧几里德定理 数论 大陆地区 NOIP全国联赛提高组 2012年

/*
求关于x的模线性方程
ax≡1(mod b)的最小正整数解.
我们可以转化求不定方程ax+by=1的根来求.
若方程有整数解 则gcd(a,b)=1(即 1|gcd(a,b)).
求出一组解(x0,y0).
然后特殊地此题gcd(a,b)=1.
so x+b/gcd(a,b)等价于x+b.
又因为是mod b的剩余系中.
so ans=(x+b)%b.
观察此式 可知x是a关于mod y剩余系下的逆元.
若b为质数 则由费马小定理
a^(p-1)=1,可知a^(p-2)为逆元.
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL x,y;
inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*f;
}
void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{if(!b) {x=1,y=0;return ;}else ex_gcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
}
int main()
{LL a,b;a=read(),b=read();ex_gcd(a,b,x,y);cout<<(x+b)%b;return 0;
}

/*
看到网上有这种做法.
挺巧妙的.
由欧拉函数性质:a^phi(b)%b=1.
so a*a^(phi(b)-1)%b=1.
so 该方程的解为x=a^(phi(b)-1).
so 在mod b剩余系下
最小正整数解为x=a^(phi(b)-1)%b.
然后枚举因子求phi(b),快速幂求a^(phi(b)-1)%b.
特殊地若b为质数
由欧拉函数性质phi(b)=b-1.
即求a^(b-2)%b.(和费马小定理的结论一样....)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL x,y,s,ans,a,b;
inline LL read()
{LL x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*f;
}
void eu()
{LL n=b;ans=n;for(int i=2;i*i<=n;i++){if(!(n%i)){while(!(n%i)) n/=i;ans=ans/i*(i-1);}}if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
}
LL mi(LL a,LL p)
{LL tot=1;while(p){if(p&1) tot=tot*a%b;a=a*a%b;p>>=1;}return tot;
}
int main()
{a=read(),b=read();eu();ans=mi(a,ans-1)%b;cout<<ans;return 0;
}