CRC的全称为Cyclic Redundancy Check，中文名称为循环冗余校验。它是一类重要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地用于实现差错控制。实际上，除 数据通信外，CRC在其它很多领域也是大有用武之地的。例如我们读软盘上的文件，以及解压一个ZIP文件时，偶尔会碰到“Bad CRC”错误，由此它在数据存储方面的应用可略见一斑。

差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着眼于介绍CRC的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。

利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督 码(CRC码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以 确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。

1 代数学的一般性算法

在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为
1·x⁶+1·x⁵+0·x⁴+0·x³+1·x²+0·x+1，即 x⁶+x⁵+x²+1。

设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。

发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为
T(x)=x^rP(x)+R(x)

接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。

举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x³+x²，G(x)=x³+x+1，计算CRC的过程为

      xrP(x)     x3(x3+x2)     x6+x5                    x     -------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) + --------       G(x)       x3+x+1      x3+x+1                 x3+x+1

即 R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，得出CRC为010。

如果用竖式除法，计算过程为

               1110            -------         1011 /1100000     (1100左移3位)            1011            ----             1110             1011             -----              1010              1011              -----               0010               0000               ----                010

因此，T(x)=(x⁶+x⁵)+(x)=x⁶+x⁵+x, 即 1100000+010=1100010

如果传输无误，

       T(x)     x6+x5+x      ------ = --------- = x3+x2+x,       G(x)     x3+x+1

无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。

上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。

下表中列出了一些见于标准的CRC资料：

    *  生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。    ** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。

4.CRC算法的实现
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要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M = 11100110，G = 1011，
其系数r为3。
                        
                 11001100                  
         ------------------------              
1011 )11100110000                 
          1011.......                       
          ----.......                          
           1010......                     
           1011......       
           ----......                 
                 1110...                  
                 1011...                     
                 ------...                      
                   1010..                   
                   1011..                    
                   -------                       
                     100  <---校验码       
                           
程序可以如下实现：
    1)将Mx^r的前r位放入一个长度为r的寄存器；
    2)如果寄存器的首位为1，将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB)，
      再与G的后r位异或，否则仅将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB)；
    3)重复第2步，直到M全部Mx^r移入寄存器；
    4)寄存器中的值则为校验码。

基于以上算法，我们可以看一下上面例子的程序计算过程：（r＝3）

首先，111 00110000前三位进入寄存器，即111

这时寄存器首位为1，执行第2步,移位成110 0110000,这时寄存器中为前三位110，将其与011（生成多项式后三位）异或，得101 0110000.

然后继续第2步，101首位为1，移位010 110000,然后010与011异或，得  001 110000
前面两个0，连续以为2次且不用计算异或，得111 0000，接着移位110 000，异或得101 000
       第一位为1，移位得010 00，前三位异或得001 00

最后因为前面两个0，直接移位两次后得寄存器中的内容100,这时Mx^r位的所有内容都移入寄存器，运算结束，记得检验码为100。（关键先判断首位是否为1，然后移位，然后计算）

111 00110000移位－>1 110 0110000
                                                011
                                                101 0110000  -->101第一位为1，移位且计算
                                                1 010 110000
                                                   011 
                                                   001 110000-->001第一位第二位均为0，移位2次
                                                   00 111 0000-->111第一位为1，移位且计算
                                                        1 110 000
                                                           011
                                                           101 000-->101第一位为1，移位且计算
                                                           1 010 00
                                                              011
                                                              001 00-->移位2次得100

用CRC16-CCITT的生成多项式0x1021，其C代码(本文所有代码假定系统为32位，且都在VC6上编译通过)如下：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg;
        
    crc_reg = (message[0] << 8) + message[1];
    for (i = 0; i < len; i++) 
    {
        if (i < len - 2)
            for (j = 0; j <= 7; j++) 
            { 
                if ((short)crc_reg < 0)
                    crc_reg = ((crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i))) ^ 0x1021;
                else 
                    crc_reg = (crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i));      
            }
         else
            for (j = 0; j <= 7; j++) 
            { 
                if ((short)crc_reg < 0)
                    crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021;
                else 
                    crc_reg <<= 1;             
            }         
    }
    return crc_reg;
}

显然，每次内循环的行为取决于寄存器首位。由于异或运算满足交换率和结合律，以及与0异或无影响，消息可以不移入寄存器，而在每次内循环的时候，寄存器首位再与对应的消息位异或。改进的代码如下：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) 
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned short current;
        
    for (i = 0; i < len; i++) 
    {
        current = message[i] << 8;
        for (j = 0; j < 8; j++) 
        { 
            if ((short)(crc_reg ^ current) < 0)
                crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021;
            else 
                crc_reg <<= 1; 
            current <<= 1;            
        }
    }
    return crc_reg;
}

以上的讨论中，消息的每个字节都是先传输MSB，CRC16-CCITT标准却是按照先传输LSB，消息右移进寄存器来计算的。只需将代码改成判断寄存器的LSB，将0x1021按位颠倒后(0x8408)与寄存器异或即可，如下所示：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) 
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned short current;
        
    for (i = 0; i < len; i++) 
    {
        current = message[i];
        for (j = 0; j < 8; j++) 
        { 
            if ((crc_reg ^ current) & 0x0001)
                crc_reg = (crc_reg >> 1) ^ 0x8408;
            else 
                crc_reg >>= 1; 
            current >>= 1;            
        }
    }
    return crc_reg;
}

该算法使用了两层循环，对消息逐位进行处理，这样效率是很低的。为了提高时间效率，通常的思想是以空间换时间。考虑到内循环只与当前的消息字节和crc_reg的低字节有关，对该算法做以下等效转换：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) 
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned char  index;
    unsigned short to_xor;
       
    for (i = 0; i < len; i++) 
    {
        index = (crc_reg ^ message[i]) & 0xff; 
        to_xor = index;       
        for (j = 0; j < 8; j++) 
        { 
            if (to_xor & 0x0001)
                to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408;
            else 
                to_xor >>= 1;           
        }
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ to_xor;
    }
    return crc_reg;
}

现在内循环只与index相关了，可以事先以数组形式生成一个表crc16_ccitt_table，使得to_xor = crc16_ccitt_table[index]，于是可以简化为：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) 
{
    unsigned short crc_reg = 0; 
          
    while (len--) 
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
        
    return crc_reg;
}

crc16_ccitt_table通过以下代码生成：

int main()
{
    unsigned char index = 0;
    unsigned short to_xor;
    int i;

printf("unsigned short crc16_ccitt_table[256] =\n{");
    while (1) 
    {
        if (!(index % 8))
            printf("\n");
        
        to_xor = index;       
        for (i = 0; i < 8; i++) 
        { 
            if (to_xor & 0x0001)
                to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408;
            else 
                to_xor >>= 1;           
        }            
        printf("0x%04x", to_xor);
        
        if (index == 255)
        {
            printf("\n");
            break;
        }
        else
        {
            printf(", ");
            index++;
        }
    }
    printf("};");
    return 0;
}

生成的表如下：

unsigned short crc16_ccitt_table[256] =
{
0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf,
0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7,
0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e,
0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876,
0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd,
0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5,
0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c,
0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974,
0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb,
0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3,
0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a,
0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72,
0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9,
0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1,
0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738,
0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70,
0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7,
0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff,
0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036,
0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e,
0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5,
0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd,
0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134,
0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c,
0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3,
0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb,
0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232,
0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a,
0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1,
0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9,
0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330,
0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78
};

这样对于消息unsigned char message[len]，校验码为：
    unsigned short code = do_crc(message, len);
并且按以下方式发送出去：
    message[len] = code & 0x00ff;
    message[len + 1] = (code >> 8) & 0x00ff; 
    
接收端对收到的len + 2字节执行do_crc，如果没有差错发生则结果应为0。

在一些传输协议中，发送端并不指出消息长度，而是采用结束标志，考虑以下几种差错：
    1)在消息之前，增加1个或多个0字节；
    2)消息以1个或多个连续的0字节开始，丢掉1个或多个0；
    3)在消息(包括校验码)之后，增加1个或多个0字节； 
    4)消息(包括校验码)以1个或多个连续的0字节结尾，丢掉1个或多个0； 
    
显然，这几种差错都检测不出来，其原因就是如果寄存器值为0，处理0消息字节(或位)，寄存器值不变。为了解决前2个问题，只需寄存器的初值非0即可，对do_crc作以下改进：
 
unsigned short do_crc(unsigned short reg_init, unsigned char *message, unsigned int len) 
{
    unsigned short crc_reg = reg_init; 
          
    while (len--) 
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
        
    return crc_reg;
}

在CRC16-CCITT标准中reg_init = 0xffff，为了解决后2个问题，在CRC16-CCITT标准中将计算出的校验码与0xffff进行异或，即：
    unsigned short code = do_crc(0xffff, message, len);
    code ^= 0xffff;
    message[len] = code & 0x00ff;
    message[len + 1] = (code >> 8) & 0x00ff;   
    
显然，现在接收端对收到的所有字节执行do_crc，如果没有差错发生则结果应为某一常值GOOD_CRC。其满足以下关系：
    unsigned char p[]= {0xff, 0xff}; 
    GOOD_CRC = do_crc(0, p, 2); 
其结果为GOOD_CRC = 0xf0b8。

在同一程序中验证如下（放在main函数中可试验）：

unsigned char p[]= {0xa0,0xb0,0xff, 0xff};
    unsigned short crc;        
     crc= do_crc(0xffff, p, 2);  //计算前两位的CRC码
    crc^=0xffff;     //对其取反
    p[2]=crc&0x00ff;   //将计算的CRC码加到信息序列后面
    p[3]=crc>>8&0x00ff;
    printf("p[2]=%x,p3=%x\n",p[2],p[3]);
    crc=do_crc(0xffff,p,4);   //对信息码＋CRC码共同计算得出CRC=0xf0b8
    printf("crc is %x\n",crc);
假设发送的信息是p[0],p[1]；低位先发，对其计算的CRC加到信息码后面

然后对信息码＋CRC码共同计算CRC值，此时应该是常数0xf0b8。不管信息码如何变化，内容和长度都可变，只要把计算的CRC码加进去一起计算CRC，就应该是得该常数GOOD_CRC。

参考文献
--------
[1] Ross N. Williams，"A PAINLESS GUIDE TO CRC ERROR DETECTION ALGORITHMS"，Version 3，
    http://www.ross.net/crc/crcpaper.html，August 1993
[2] Simpson, W., Editor, "PPP in HDLC Framing"，RFC 1549, December 1993
[3] P. E. Boudreau，W. C. Bergman and D. R. lrvin，"Performance of a cyclic redundancy  check and its interaction with a data scrambler"，IBM J. RES. DEVELOP.，VOL.38    NO.6，November 1994