r(AB)=r(B)则方程组ABX=0与Bx=0有完全相同的解
从左到右
ABx=0与Bx=0有完全相同的解,即有完全相同的基础解系,而AB与B的r = n - 基础解系的个数。所以r(AB)=r(B);
从右向左
由Bx=0,可知方程组的一个基础解系,不妨设为b个。因Bx=0,所以这b个线形无关的解满足ABx=0,而AB的r与B的r相同为b,所以它也是AB的基础解系,所以ABx=0与Bx=0有完全相同的解。
······
这个式子非常重要,在证明同解问题中经常遇到。
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