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一、基本概念定义

1.非线性方程定义及最优化方法简述

指因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，比如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等。对于此类方程，求解n元实函数f在整个n维向量空间Rn上的最优值点往往很难得到精确解，经常需要求近似解问题。

求解该最优化问题的方法大多是逐次一维搜索的迭代算法，基本思想是在一个近似点处选定一个有利于搜索方向，沿这个方向进行一维搜索，得到新的近似点。如此反复迭代，知道满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同，这类迭代算法可分为两类：

解析法：需要用目标函数的到函数，

梯度法：又称最速下降法，是早期的解析法，收敛速度较慢

牛顿法：收敛速度快，但不稳定，计算也较困难。高斯牛顿法基于其改进，但目标作用不同

共轭梯度法：收敛较快，效果好

变尺度法：效率较高，常用DFP法(Davidon Fletcher Powell)

直接法：不涉及导数，只用到函数值。有交替方向法(又称坐标轮换法)、模式搜索法、旋转方向法、鲍威尔共轭方向法和单纯形加速法等。

2.非线性最小二乘问题

非线性最小二乘问题来自于非线性回归，即通过观察自变量和因变量数据，求非线性目标函数的系数参数，使得函数模型与观测量尽量相似。

高斯牛顿法解决非线性最小二乘问题的最基本方法，并且它只能处理二次函数。(使用时必须将目标函数转化为二次的)

Unlike Newton'smethod, the Gauss–Newton algorithm can only be used to minimize a sum ofsquared function values

3.基本数学表达

a.梯度gradient，由多元函数的各个偏导数组成的向量

以二元函数为例，其梯度为：

b.黑森矩阵Hessian matrix，由多元函数的二阶偏导数组成的方阵，描述函数的局部曲率，以二元函数为例，

c.雅可比矩阵 Jacobian matrix，是多元函数一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。以二元函数为例，

如果扩展多维的话F: Rn-> Rm，则雅可比矩阵是一个m行n列的矩阵：

雅可比矩阵作用，如果P是Rn中的一点，F在P点可微分，那么在这一点的导数由JF(P)给出，在此情况下，由F(P)描述的线性算子即接近点P的F的最优线性逼近：

d.残差 residual，表示实际观测值与估计值(拟合值)之间的差

二、牛顿法

牛顿法的基本思想是采用多项式函数来逼近给定的函数值，然后求出极小点的估计值，重复操作，直到达到一定精度为止。

1.考虑如下一维无约束的极小化问题：

因此，一维牛顿法的计算步骤如下：

需要注意的是，牛顿法在求极值的时候，如果初始点选取不好，则可能不收敛于极小点

2.下面给出多维无约束极值的情形：

若非线性目标函数f(x)具有二阶连续偏导，在x(k)为其极小点的某一近似，在这一点取f(x)的二阶泰勒展开，即：

如果f(x)是二次函数，则其黑森矩阵H为常数，式(1)是精确的(等于号)，在这种情况下，从任意一点处罚，用式(2)只要一步可求出f(x)的极小点(假设黑森矩阵正定，所有特征值大于0)

如果f(x)不是二次函数，式(1)仅是一个近似表达式，此时，按式(2)求得的极小点，只是f(x)的近似极小点。在这种情况下，常按照下面选取搜索方向：

牛顿法收敛的速度很快，当f(x)的二阶导数及其黑森矩阵的逆矩阵便于计算时，这一方法非常有效。【但通常黑森矩阵很不好求】

3.下面给出一个实际计算例子。

例：试用牛顿法求的极小值

解：

【f(x)是二次函数，H矩阵为常数，只要任意点出发，只要一步即可求出极小点】

三、牛顿高斯法

1. gauss-newton是如何由上述派生的

有时候为了拟合数据，比如根据重投影误差求相机位姿(R,T为方程系数)，常常将求解模型转化为非线性最小二乘问题。高斯牛顿法正是用于解决非线性最小二乘问题，达到数据拟合、参数估计和函数估计的目的。

假设我们研究如下形式的非线性最小二乘问题：

这两个位置间残差（重投影误差）：

如果有大量观测点(多维)，我们可以通过选择合理的T使得残差的平方和最小求得两个相机之间的位姿。机器视觉这块暂时不扩展，接着说怎么求非线性最小二乘问题。

若用牛顿法求式3，则牛顿迭代公式为：

看到这里大家都明白高斯牛顿和牛顿法的差异了吧，就在这迭代项上。经典高斯牛顿算法迭代步长λ为1.

那回过头来，高斯牛顿法里为啥要舍弃黑森矩阵的二阶偏导数呢？主要问题是因为牛顿法中Hessian矩阵中的二阶信息项通常难以计算或者花费的工作量很大，而利用整个H的割线近似也不可取，因为在计算梯度时已经得到J(x)，这样H中的一阶信息项JTJ几乎是现成的。鉴于此，为了简化计算，获得有效算法，我们可用一阶导数信息逼近二阶信息项。注意这么干的前提是，残差r接近于零或者接近线性函数从而接近与零时，二阶信息项才可以忽略。通常称为“小残量问题”，否则高斯牛顿法不收敛。

3. 举例

接下来的代码里并没有保证算法收敛的机制，在例子2的自嗨中可以看到劣势。关于自变量维数，代码可以支持多元，但两个例子都是一维的，比如例子1中只有年份t，其实可以增加其他因素的，不必在意。

例子1，根据美国1815年至1885年数据，估计人口模型中的参数A和B。如下表所示，已知年份和人口总量，及人口模型方程，求方程中的参数。

// A simple demo of Gauss-Newton algorithm on a user defined function  #include <cstdio>
#include <vector>
#include <opencv2/core/core.hpp>  using namespace std;
using namespace cv;  const double DERIV_STEP = 1e-5;
const int MAX_ITER = 100;  void GaussNewton(double(*Func)(const Mat &input, const Mat ¶ms), // function pointer  const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat ¶ms);  double Deriv(double(*Func)(const Mat &input, const Mat ¶ms), // function pointer  const Mat &input, const Mat ¶ms, int n);  // The user defines their function here
double Func(const Mat &input, const Mat ¶ms);  int main()
{  // For this demo we're going to try and fit to the function  // F = A*exp(t*B)  // There are 2 parameters: A B  int num_params = 2;  // Generate random data using these parameters  int total_data = 8;  Mat inputs(total_data, 1, CV_64F);  Mat outputs(total_data, 1, CV_64F);  //load observation data  for(int i=0; i < total_data; i++) {  inputs.at<double>(i,0) = i+1;  //load year  }  //load America population  outputs.at<double>(0,0)= 8.3;  outputs.at<double>(1,0)= 11.0;  outputs.at<double>(2,0)= 14.7;  outputs.at<double>(3,0)= 19.7;  outputs.at<double>(4,0)= 26.7;  outputs.at<double>(5,0)= 35.2;  outputs.at<double>(6,0)= 44.4;  outputs.at<double>(7,0)= 55.9;  // Guess the parameters, it should be close to the true value, else it can fail for very sensitive functions!  Mat params(num_params, 1, CV_64F);  //init guess  params.at<double>(0,0) = 6;  params.at<double>(1,0) = 0.3;  GaussNewton(Func, inputs, outputs, params);  printf("Parameters from GaussNewton: %f %f\n", params.at<double>(0,0), params.at<double>(1,0));  return 0;
}  double Func(const Mat &input, const Mat ¶ms)
{  // Assumes input is a single row matrix  // Assumes params is a column matrix  double A = params.at<double>(0,0);  double B = params.at<double>(1,0);  double x = input.at<double>(0,0);  return A*exp(x*B);
}  //calc the n-th params' partial derivation ， the params are our  final target
double Deriv(double(*Func)(const Mat &input, const Mat ¶ms), const Mat &input, const Mat ¶ms, int n)
{  // Assumes input is a single row matrix  // Returns the derivative of the nth parameter  Mat params1 = params.clone();  Mat params2 = params.clone();  // Use central difference  to get derivative  params1.at<double>(n,0) -= DERIV_STEP;  params2.at<double>(n,0) += DERIV_STEP;  double p1 = Func(input, params1);  double p2 = Func(input, params2);  double d = (p2 - p1) / (2*DERIV_STEP);  return d;
}  void GaussNewton(double(*Func)(const Mat &input, const Mat ¶ms),  const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat ¶ms)
{  int m = inputs.rows;  int n = inputs.cols;  int num_params = params.rows;  Mat r(m, 1, CV_64F); // residual matrix  Mat Jf(m, num_params, CV_64F); // Jacobian of Func()  Mat input(1, n, CV_64F); // single row input  double last_mse = 0;  for(int i=0; i < MAX_ITER; i++) {  double mse = 0;  for(int j=0; j < m; j++) {  for(int k=0; k < n; k++) {//copy Independent variable vector, the year  input.at<double>(0,k) = inputs.at<double>(j,k);  }  r.at<double>(j,0) = outputs.at<double>(j,0) - Func(input, params);//diff between estimate and observation population  mse += r.at<double>(j,0)*r.at<double>(j,0);  for(int k=0; k < num_params; k++) {  Jf.at<double>(j,k) = Deriv(Func, input, params, k);  }  }  mse /= m;  // The difference in mse is very small, so quit  if(fabs(mse - last_mse) < 1e-8) {  break;  }  Mat delta = ((Jf.t()*Jf)).inv() * Jf.t()*r;  params += delta;  //printf("%d: mse=%f\n", i, mse);  printf("%d %f\n", i, mse);  last_mse = mse;  }
}

运行结果：

A=7.0,B=0.26 (初始值，A=6,B=0.3)，100次迭代到第4次就收敛了。

若初始值A=1,B=1，则要迭代14次收敛。

下图为根据上面得到的A、B系数，利用matlab拟合的人口模型曲线

例子2：我想要拟合如下模型，

由于缺乏观测量，就自导自演，假设4个参数已知A=5,B=1,C=10,D=2，构造100个随机数作为x的观测值，计算相应的函数观测值。然后，利用这些观测值，反推4个参数。

// A simple demo of Gauss-Newton algorithm on a user defined function  #include <cstdio>
#include <vector>
#include <opencv2/core/core.hpp>  using namespace std;
using namespace cv;  const double DERIV_STEP = 1e-5;
const int MAX_ITER = 100;  void GaussNewton(double(*Func)(const Mat &input, const Mat ¶ms), // function pointer  const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat ¶ms);  double Deriv(double(*Func)(const Mat &input, const Mat ¶ms), // function pointer  const Mat &input, const Mat ¶ms, int n);  // The user defines their function here
double Func(const Mat &input, const Mat ¶ms);  int main()
{  // For this demo we're going to try and fit to the function  // F = A*sin(Bx) + C*cos(Dx)  // There are 4 parameters: A, B, C, D  int num_params = 4;  // Generate random data using these parameters  int total_data = 100;  double A = 5;  double B = 1;  double C = 10;  double D = 2;  Mat inputs(total_data, 1, CV_64F);  Mat outputs(total_data, 1, CV_64F);  for(int i=0; i < total_data; i++) {  double x = -10.0 + 20.0* rand() / (1.0 + RAND_MAX); // random between [-10 and 10]  double y = A*sin(B*x) + C*cos(D*x);  // Add some noise  // y += -1.0 + 2.0*rand() / (1.0 + RAND_MAX);  inputs.at<double>(i,0) = x;  outputs.at<double>(i,0) = y;  }  // Guess the parameters, it should be close to the true value, else it can fail for very sensitive functions!  Mat params(num_params, 1, CV_64F);  params.at<double>(0,0) = 1;  params.at<double>(1,0) = 1;  params.at<double>(2,0) = 8; // changing to 1 will cause it not to find the solution, too far away  params.at<double>(3,0) = 1;  GaussNewton(Func, inputs, outputs, params);  printf("True parameters: %f %f %f %f\n", A, B, C, D);  printf("Parameters from GaussNewton: %f %f %f %f\n", params.at<double>(0,0), params.at<double>(1,0),  params.at<double>(2,0), params.at<double>(3,0));  return 0;
}  double Func(const Mat &input, const Mat ¶ms)
{  // Assumes input is a single row matrix  // Assumes params is a column matrix  double A = params.at<double>(0,0);  double B = params.at<double>(1,0);  double C = params.at<double>(2,0);  double D = params.at<double>(3,0);  double x = input.at<double>(0,0);  return A*sin(B*x) + C*cos(D*x);
}  double Deriv(double(*Func)(const Mat &input, const Mat ¶ms), const Mat &input, const Mat ¶ms, int n)
{  // Assumes input is a single row matrix  // Returns the derivative of the nth parameter  Mat params1 = params.clone();  Mat params2 = params.clone();  // Use central difference  to get derivative  params1.at<double>(n,0) -= DERIV_STEP;  params2.at<double>(n,0) += DERIV_STEP;  double p1 = Func(input, params1);  double p2 = Func(input, params2);  double d = (p2 - p1) / (2*DERIV_STEP);  return d;
}  void GaussNewton(double(*Func)(const Mat &input, const Mat ¶ms),  const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat ¶ms)
{  int m = inputs.rows;  int n = inputs.cols;  int num_params = params.rows;  Mat r(m, 1, CV_64F); // residual matrix  Mat Jf(m, num_params, CV_64F); // Jacobian of Func()  Mat input(1, n, CV_64F); // single row input  double last_mse = 0;  for(int i=0; i < MAX_ITER; i++) {  double mse = 0;  for(int j=0; j < m; j++) {  for(int k=0; k < n; k++) {  input.at<double>(0,k) = inputs.at<double>(j,k);  }  r.at<double>(j,0) = outputs.at<double>(j,0) - Func(input, params);  mse += r.at<double>(j,0)*r.at<double>(j,0);  for(int k=0; k < num_params; k++) {  Jf.at<double>(j,k) = Deriv(Func, input, params, k);  }  }  mse /= m;  // The difference in mse is very small, so quit  if(fabs(mse - last_mse) < 1e-8) {  break;  }  Mat delta = ((Jf.t()*Jf)).inv() * Jf.t()*r;  params += delta;  //printf("%d: mse=%f\n", i, mse);  printf("%f\n",mse);  last_mse = mse;  }
}

运行结果，得到的参数并不够理想，50次后收敛了

下图中，每次迭代残差并没有持续减少，有反复

4．优缺点分析

优点：

对于零残量问题，即r=0，有局部二阶收敛速度
对于小残量问题，即r较小或接近线性，有快的局部收敛速度
对于线性最小二乘问题，一步达到极小点

缺点：

对于不是很严重的大残量问题，有较慢的局部收敛速度
对于残量很大的问题或r的非线性程度很大的问题，不收敛
不一定总体收敛
如果J不满秩，则方法无定义

对于它的缺点，我们通过增加线性搜索策略，保证目标函数每一步下降，对于几乎所有非线性最小二乘问题，它都具有局部收敛性及总体收敛，即所谓的阻尼高斯牛顿法。

其中，ak为一维搜索因子

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