曲线拟合（高斯牛顿法，Ceres,g2o)
实践：曲线拟合问题
我们先通过高斯牛顿法来求解最小二乘问题，然后介绍使用优化库(Ceres/g2o)来求解此问题。
例题：
考虑一条满足如下方程的曲线：
y = exp(ax2x^2x2+ bx + c) + w,其中a,b,c为曲线的参数，w是高斯噪声，满足w~(0,σ2\sigma^2σ2)。 这是个非线性模型。假设我们有N个关于x,y的观测点，想根据这些数据点来求出曲线的参数。那么可以通过求解下面的最小二乘问题来估计曲线参数：
mina,b,c\min\limits_{a,b,c}a,b,cmin 12\frac{1}{2}21 ∑i=1N\sum\limits_{i=1}^{N}i=1∑N ∥yi−exp(axi2+bxi+c)∥2\lVert y_i - exp(ax_i^2+ bx_i + c) \rVert^2∥yi−exp(axi2+bxi+c)∥2
在这个问题中待估计的变量是a,b,c。
求解思路：先根据模型生成x,y的真值，然后在真值中加入高斯分布的噪声。随后，使用高斯牛顿法从带噪声的数据拟合参数模型。
误差定义：eie_iei = yi−exp(axi2+bxi+c)y_i - exp(ax_i^2+ bx_i + c)yi−exp(axi2+bxi+c)
可以求出每个误差项对于状态变量的导数：
∂ei∂a\frac{\partial e_i}{\partial a}∂a∂ei = -xi2x_i^2xi2 exp(axi2+bxi+c)exp(ax_i^2+ bx_i + c)exp(axi2+bxi+c)
∂ei∂b\frac{\partial e_i}{\partial b}∂b∂ei = -xix_ixi exp(axi2+bxi+c)exp(ax_i^2+ bx_i + c)exp(axi2+bxi+c)
∂ei∂c\frac{\partial e_i}{\partial c}∂c∂ei = -exp(axi2+bxi+c)exp(ax_i^2+ bx_i + c)exp(axi2+bxi+c)
于是JiJ_iJi = [∂ei∂a,∂ei∂b,∂ei∂c]T[ \frac{\partial e_i}{\partial a}, \frac{\partial e_i}{\partial b},\frac{\partial e_i}{\partial c}]^T[∂a∂ei,∂b∂ei,∂c∂ei]T,高斯牛顿的增量方程为：
(∑i=1100Ji(σ2)−1( \sum\limits_{i=1}^{100}J_i(\sigma^2)^{-1}(i=1∑100Ji(σ2)−1JiTJ_i ^TJiT) △\triangle△xkx_kxk = ∑i=1100−Ji(σ2)−1ei\sum\limits_{i=1}^{100}-J_i(\sigma^2)^{-1}e_ii=1∑100−Ji(σ2)−1ei, 可以将所有的JiJ_iJi排成一列，将这个方程写成矩阵的形式，不过它的含义与求和是一致的。
1.1高斯牛顿法求解最小二乘问题
#include <iostream>
#include <chrono>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
#include <stdio.h>using namespace std;
using namespace Eigen;int main(int argc, char **argv) {double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0; //真实参数值double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0; //估计参数值int N = 100; //数据点double w_sigma = 1.0; //噪声Sigma值double inv_sigma = 1.0 / w_sigma; cv::RNG rng; //OpenCV随机数生成器vector<double> x_data, y_data; //数据for(int i = 0; i < N; i++) {double x = i / 100.0;x_data.push_back(x);//rng.gaussian(a),产生均值为0，标准差为a的高斯分布的随机数y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));}int iterations = 100;double cost = 0, lastcost = 0;chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();for(int iter = 0; iter < iterations; iter++) {Matrix3d H = Matrix3d::Zero();Vector3d b = Vector3d::Zero();cost = 0;for(int i = 0; i < N; i++) {double xi = x_data[i], yi = y_data[i];double error = yi - exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);Vector3d J;J[0] = J[0] = -xi * xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/daJ[1] = -xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/dbJ[2] = -exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/dcH += inv_sigma * inv_sigma * J * J.transpose(); //J和J的转置中间乘的是协方差矩阵的倒数，所以需要上式的double inv_sigma = 1.0 / w_sigma；b += -inv_sigma * inv_sigma * error * J;cost += error * error;}Vector3d dx = H.ldlt().solve(b);//isnan()函数判断输入是否为非数字，是非数字为真is not a numberif(isnan(dx[0])) {cout << "reuslt is nan!" << endl;break;}if(iter > 0 && cost >= lastcost) {cout << "cost " << cost << ">= last cost :" << lastcost << "break;" << endl;break;}ae += dx[0];be += dx[1];ce += dx[2];lastcost = cost;cout << "\033[1;32m total cost :" << cost << "\t\tupdate:" << dx.transpose() << "\t\testimated parmas:" << ae << "," << be << "," << ce << "\033[0m" << endl;}chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);cout << "solve time cost :" << time_used.count() << "seconds" << endl;cout << "estimated abd=" << ae << "," << be << "," << ce << endl;return 0;}
CMakeLists.txt：
cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project(ch6_1)
set(CMAKE_BUILD_TYPE Release)
set(CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++14 -O3")
list(APPEND CMAKE_MODULE_PATH ${PROJECT_SOURCE_DIR}/cmake)
# OpenCV
find_package(OpenCV REQUIRED)
include_directories(${OpenCV_INCLUDE_DIRS})
# Eigen
include_directories("/usr/include/eigen3")add_executable(gaussNewton gaussNewton.cpp)
target_link_libraries(gaussNewton ${OpenCV_LIBS})
运行结果：
由此结果可见：目标函数接近9此迭代后残差的结果不再发生变化趋近于收敛，更新量趋近于0，最终真实值1，2，3，与估计置0.890912,2.1719,0.943629接近。优化用时大约0.3毫秒。
补充： sudo apt-get install libpcl-dev pcl-tools 用来查看点云文件，通过一个窗口将其画出。
1.2 使用Ceres进行曲线拟合
1.2.1 Ceres简介
来自谷歌的Ceres库是一个广泛使用的用于求解最小二乘问题的求解库。在Ceres中，我们只需按照一定的步骤定义待解的优化问题，然后交给求解器来计算。
Ceres求解最小二乘问题最一般的形式如下：
minx\min\limits_{x}xmin 12\frac{1}{2}21 ∑i\sum\limits_{i}i∑ ρi\rho_iρi (∥fi(xi,1......xi,n∥2\lVert f_i(x_{i,1}......x_{i,n}\rVert^2∥fi(xi,1......xi,n∥2)
s.t ljl_jlj ≤\leq≤ xjx_jxj ≤\leq≤ uju_juj
在这个形式中，x1x_1x1, …,xnx_nxn为优化变量，又称为参数块（Parameter blocks),fif_ifi称为代价函数（Cost function), 也称为残差（Residual blocks),在SLAM中可以理解为残差项。ljl_jlj,uju_juj为第j个待优化变量的上限和下限。取ljl_jlj = -∞\infty∞,uju_juj = ∞\infty∞(不限制优化变量的边界），此时，目标函数由许多个项的平方项经过一个核函数ρ\rhoρ(.)之后求和组成。同样，可以取ρ\rhoρ为恒等函数，那么目标函数就是由许多个平方项的和组成，就得到了一个无约束的最小二乘问题。
Cereos求解此类问题时，我们需要做的有如下任务：
- 定义每个参数块。参数块通常为向量，但是在SLAM里也可以定义为四元数，李代数这种特殊的结构。如果是向量，我们需要为每个参数块分配一个double数组来存储变量的值。
- 定义残差块的计算方式。残差块通常关联若干个参数块，对他们进行一些自定义的计算，然后返回残差值。Ceres对他们求平方和之后，作为目标函数的值。
- 残差块也需要定义雅可比的计算方式。在Ceres中可以用这个库提供的自动求导功能；也可以手动指定雅可比的计算过程。如果使用自动求导，那么残差块需按照特定的书写；残差的计算应该是一个带模板的括号运算符。
- f把所有的参数块和残差加入到Ceres定义的Problem对象中，调用Solve函数求解。求解之前，可以传入一些配置信息，例如：迭代次数，终止条件等，也可以使用默认的配置。
首先安装Cereos库，先安装相关的依赖，然后编译安装即可（略）
1.2.2 上例，用Ceres拟合曲线
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <ceres/ceres.h>
#include <chrono>using namespace std;
using namespace Eigen;//第一部分：构建代价函数，重载（）符号
struct CURVE_FITTING_COST {CURVE_FITTING_COST(double x, double y) : _x(x), _y(y) {}// 残差的计算template<typename T>bool operator()(const T *const abc, T *residual) const {residual[0] = T(_y) - ceres::exp(abc[0] * T(_x) * T(_x) + abc[1] * T(_x) + abc[2]); // y-exp(ax^2+bx+c)return true;}const double _x, _y;
};int main(int argc, char **argv)
{double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0; // 真实参数值double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0; // 估计参数值int N = 100; // 数据点double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值double inv_sigma = 1.0 / w_sigma;cv::RNG rng; // OpenCV随机数产生器vector<double> x_data, y_data; // 数据for (int i = 0; i < N; i++) {double x = i / 100.0;x_data.push_back(x);y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));}//寻找待优化参数的初始值double abc[3] = {ae, be, ce};//第二步：构建优化问题ceres::Problem problem;for(int i = 0; i < N; i++){//使用自动求导，将之前的代价函数结构体传入，第一个是输出的维度，即残差的维度，第二个是输入的维度，即待优化变量的维度。//double abc[3] = {ae, be, ce};参数块//new CURVE_FITTING_COST(x_data[i], y_data[i])；对于残差块，我们对每一个数据构造CURVE_FITTING_COST 对象，然后调用AddResidualBlock()将误差项添加到目标函数中//优化需要梯度，方式：1，Ceres自动求导 2，数值求导 3，自行推导导数形式//自动求导需要指定误差项和优化变量的维度。于是在自动求道的模板参数中指定了维度。ceres::CostFunction * cost_function = new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST, 1, 3>(new CURVE_FITTING_COST(x_data[i], y_data[i]));//设定问题，向问题中添加误差项problem.AddResidualBlock(cost_function,nullptr, //核函数，不使用abc); //待估计的参数}//第四步：配置并运行求解器（可以选择使用Line Search还是Trust Region,迭代次数，步长等）ceres::Solver::Options options;options.linear_solver_type = ceres::DENSE_NORMAL_CHOLESKY; //配置增量方程的解法options.minimizer_progress_to_stdout = true; //输出到coutceres::Solver::Summary summary;//优化信息chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();//设置好问题后，调用Solve求解ceres::Solve(options, &problem, &summary); //求解chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);cout << "solve time cost =" << time_used.count() << "seconds" << endl;cout << summary.BriefReport() << endl; //输出优化的简要信息cout << "estimatde a, b, c = ";for(auto a:abc) cout << a << "\t" << ""; //最终结果cout << endl;return 0;
}
CMakeLists.txt
cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project(ch6_1)
set(CMAKE_BUILD_TYPE Release)
set(CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++14 -O3")
list(APPEND CMAKE_MODULE_PATH ${PROJECT_SOURCE_DIR}/cmake)
# OpenCV
find_package(OpenCV REQUIRED)
include_directories(${OpenCV_INCLUDE_DIRS})
# Ceres
find_package(Ceres REQUIRED)
include_directories(${CERES_INCLUDE_DIRS})
# Eigen
include_directories("/usr/include/eigen3")
add_executable(ceresCurveFitting ceresCurveFitting.cpp)
target_link_libraries(ceresCurveFitting ${OpenCV_LIBS} ${CERES_LIBRARIES})编译过程中出现的问题：
代价函数模型中的括号运算符重载中形参缺少const 。
实现结果：
最终的优化结果与高斯牛顿法的结果基本相同。运行速度上比高斯牛顿法慢一点点，与书本上的慢六倍有出入。
1.2.3 代码部分难点剖析：
（1）构造代价函数结构体
struct CURVE_FITTING_COST {CURVE_FITTING_COST(double x, double y) : _x(x), _y(y) {}// 残差的计算template<typename T>bool operator()(const T *const abc, T *residual) const {residual[0] = T(_y) - ceres::exp(abc[0] * T(_x) * T(_x) + abc[1] * T(_x) + abc[2]); // y-exp(ax^2+bx+c)return true;}const double _x, _y;
};
使用了仿函数（拟函数）技巧，在CURVE_FITTING_COST结构体内，对（）进行了重载，这样，该结构体的一个实例就能具有类似一个函数的性质。
（2）通过代价函数构建待优化求解的优化问题
ceres::CostFunction * cost_function = new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST, 1, 3>(new CURVE_FITTING_COST(x_data[i], y_data[i]));//设定问题，向问题中添加误差项
problem.AddResidualBlock(cost_function,nullptr, //核函数，不使用abc); //待估计的参数
通过new了一个costFunction结构体，使用自动求导，将之前的代价函数结构体传入。然后，向问题中添加误差项。
（3）数值求导
使用NumericDiffCostFunction，模板参数设置输入输出维数前面加一个模板参数ceres::CENTRAL,表明使用的是数值求导。
（4）鲁棒曲线拟合
在解优化问题中（拟合曲线），数据中往往会有离群点，错误值。最终得到的寻优结果很受影响，此时可以使用一些损失函数来对离群点的影响消除。要使用核函数，只需要把NULL/nullptr环城损失函数结构体的实例。
ceres库提供的核函数有TrivialLoss 、HuberLoss、 SoftLOneLoss 、 CauchyLoss。
比如此时要使用CauchyLoss，只需要将nullptr换成new CauchyLoss（）即可。 参考：http://www.ceres-solver.org/installation.html
1.3 使用g2o进行曲线拟合
g2o(General Graphic Optimization, G2G^2G2O是在SLAM广为使用的优化库,它是一个基于图优化的库，也是一个通用的图优化库，通用意味着只要是能表示为图优化的最求二乘问题在g2o里都可以求解。图优化是一种将非线性优化和图论结合起来的理论。因此，我们先来介绍图优化。
1.3.1 图优化
求解非线性问题中，目标函数仅描述了优化变量和许多个误差项，但我们不清楚他们之间的关联。我们希望直观的看到它们之间的关系，引入图优化 。
图优化:就是优化问题变成图的一种方式。一个图由若干个顶点（Vertex），以及连接这些顶点的连边组成（Edge)。顶点表示优化变量，边表示误差项。所以对任意一个上述形式的非线性最小二乘问题，我们构建与之对应的图(贝叶斯图\因子图）。
1.3.2 使用g2o拟合曲线
编译和安装g2o库。
为了使用g2o，首先要将曲线拟合问题抽象为图优化问题。节点为优化变量，边为误差项。
图中，我们只有一元边（超边Hyper Edge)，一个顶点的图（超图），事实上，图优化中，一条边可以连一个，多个顶点，取决与每个误差与多少个优化变量有关。
有了图模型后，接下来就是在g2o中建立该模型进行优化。
步骤如下：
（1）定义顶点和边的类型；
（2）构建图；
（3）选择优化算法；
（4）调用g2o进行优化，返回结果；
#include <iostream>
#include <g2o/core/g2o_core_api.h>
#include <g2o/core/base_vertex.h>
#include <g2o/core/base_unary_edge.h>
#include <g2o/core/block_solver.h>
#include <g2o/core/optimization_algorithm_levenberg.h>
#include <g2o/core/optimization_algorithm_gauss_newton.h>
#include <g2o/core/optimization_algorithm_dogleg.h>
#include <g2o/solvers/dense/linear_solver_dense.h>
#include <Eigen/Core>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <cmath>
#include <chrono>using namespace std;// 曲线模型的顶点，模板参数：优化变量维度和数据类型
class CurveFittingVertex : public g2o::BaseVertex<3, Eigen::Vector3d> {public:EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW// 重置virtual void setToOriginImpl() override {_estimate << 0, 0, 0;}// 顶点更新函数virtual void oplusImpl(const double *update) override {_estimate += Eigen::Vector3d(update);}// 存盘和读盘：留空virtual bool read(istream &in) {}virtual bool write(ostream &out) const {}
};// 误差模型 模板参数：观测值维度，类型，连接顶点类型
class CurveFittingEdge : public g2o::BaseUnaryEdge<1, double, CurveFittingVertex> {public:EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEWCurveFittingEdge(double x) : BaseUnaryEdge(), _x(x) {}// 计算曲线模型误差virtual void computeError() override {const CurveFittingVertex *v = static_cast<const CurveFittingVertex *> (_vertices[0]);const Eigen::Vector3d abc = v->estimate();_error(0, 0) = _measurement - std::exp(abc(0, 0) * _x * _x + abc(1, 0) * _x + abc(2, 0));}// 计算雅可比矩阵virtual void linearizeOplus() override {const CurveFittingVertex *v = static_cast<const CurveFittingVertex *> (_vertices[0]);const Eigen::Vector3d abc = v->estimate();double y = exp(abc[0] * _x * _x + abc[1] * _x + abc[2]);_jacobianOplusXi[0] = -_x * _x * y;_jacobianOplusXi[1] = -_x * y;_jacobianOplusXi[2] = -y;}virtual bool read(istream &in) {}virtual bool write(ostream &out) const {}public:double _x; // x 值， y 值为 _measurement
};int main(int argc, char **argv) {double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0; // 真实参数值double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0; // 估计参数值int N = 100; // 数据点double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值double inv_sigma = 1.0 / w_sigma;cv::RNG rng; // OpenCV随机数产生器vector<double> x_data, y_data; // 数据for (int i = 0; i < N; i++) {double x = i / 100.0;x_data.push_back(x);y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));}// 构建图优化，先设定g2otypedef g2o::BlockSolver<g2o::BlockSolverTraits<3, 1>> BlockSolverType; // 每个误差项优化变量维度为3，误差值维度为1typedef g2o::LinearSolverDense<BlockSolverType::PoseMatrixType> LinearSolverType; // 线性求解器类型// 梯度下降方法，可以从GN, LM, DogLeg 中选auto solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton(g2o::make_unique<BlockSolverType>(g2o::make_unique<LinearSolverType>()));g2o::SparseOptimizer optimizer; // 优化器optimizer.setAlgorithm(solver); // 需要传递一个优化算法求解器optimizer.setVerbose(true); // 打开调试输出// 往图中增加顶点CurveFittingVertex *v = new CurveFittingVertex();v->setEstimate(Eigen::Vector3d(ae, be, ce));v->setId(0);optimizer.addVertex(v);// 往图中增加边for (int i = 0; i < N; i++) {CurveFittingEdge *edge = new CurveFittingEdge(x_data[i]);edge->setId(i);edge->setVertex(0, v); // 设置连接的顶点edge->setMeasurement(y_data[i]); // 观测数值edge->setInformation(Eigen::Matrix<double, 1, 1>::Identity() * 1 / (w_sigma * w_sigma)); // 信息矩阵：协方差矩阵之逆optimizer.addEdge(edge);}// 执行优化cout << "start optimization" << endl;chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();optimizer.initializeOptimization();//初始化optimizer.optimize(10); //开始优化，需要迭代次数chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);cout << "\033[1;49m solve time cost = " << time_used.count() << " seconds. \033[0m" << endl;// 输出优化值Eigen::Vector3d abc_estimate = v->estimate();cout << "\033[1;32m estimated model: " << abc_estimate.transpose() << "\033[0m" << endl;return 0;
}
CMakeLists.txt
cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project(ch6_1)
set(CMAKE_BUILD_TYPE Release)
set(CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++14 -O3")
list(APPEND CMAKE_MODULE_PATH ${PROJECT_SOURCE_DIR}/cmake)
# OpenCV
find_package(OpenCV REQUIRED)
include_directories(${OpenCV_INCLUDE_DIRS})
# g2o
find_package(G2O REQUIRED)
include_directories(${G2O_INCLUDE_DIRS})
# Eigen
include_directories("/usr/include/eigen3")
add_executable(g2oCurveFitting g2oCurveFitting.cpp)
target_link_libraries(g2oCurveFitting ${OpenCV_LIBS} g2o_core g2o_stuff)我们从g2o派生出了用于曲线拟合的顶点和边，在派生类中我们重写了重要的虚函数：
（1）顶点的更新函数：oplusImpl()，优化过程中最重要的是增量，而该函数使用了xk+1x_{k+1}xk+1 = xkx_kxk + △\triangle△xxx的过程。在曲线拟合过程中，曲线参数本就位于向量空间中，这个更新确实要用加法。但是，当优化变量不在向量空间中时，如xxx是相机的位姿，据需要重新定义增量如何加到现有的估计上的行为了。（用左乘或右乘更新量进行更新）。
（2）顶点的重置函数：setToOriginImpl().把估计值置0
（3）边的误差计算函数：computeError .该函数需要取出边所连接的顶点的当前估计值，根据曲线模型，与它的观测值比较。
（4）边的雅可比计算函数：linearizeOplus() 这个函数我们计算了每条边相对于雅可比。
（5）存盘和读盘：read, write.
从结果来看：与Ceres和高斯牛顿法时间相差无几，运行速度看：手写快于g2o块于Ceres,往往通用性和高效性矛盾。
1.4 g2o图优化框架
粗浅的理解：OptimizationWithHessian内部包含一个求解器（Solver), 这个Solver是由一个BlockSolver组成的。BlockSolver由两部分组成，一是SparseBlockMatrix用于计算稀疏J和H矩阵；一是线性方程的求解器（LinearSolver),它用于计算迭代过程中最关键的一步HΔ\DeltaΔx = -b.
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