由一道习题看如何设计浮点数

一道浮点数计算的题目，计算了很长时间，最终结果还是因为部分细节出错，导致全盘皆错，因此，有必要认真总结浮点数计算牵涉到的方方面面的数据表示的细节。

这个过程本身相当有趣，因为人脑在处理二进制方面并没有十进制那种直觉。尤其是当在补码下计算，总是得先进行一次数据的反加1才能看出数字的本意，进行一个减法，也需要默念，将减数连通符号位求反加一再和减数相加。甚至不如直接进行十进制数的加减再换算为补码。。

这个过程中需要多次进行这样的计算，仅仅明了计算规则，根本不能解决问题，需要的是细心，以及–实力。

好了，直接看题目，然后再在解析的过程中，一一解释。

已知十进制数X = -5/256, Y = +59/1024，按机器补码浮点运算的规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数的格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位。

OK，首先在脑海中建立一种浮点数的格式：阶符+阶码+数符+尾数。

且均用补码表示。

这里题目中给出的小数很nice。
先用自然的语言表示一下，不考虑有多少位数用于存储：
X=−101⋅2−8X = -101 \cdot 2^{-8}
Y=+111011⋅2−10Y = +111011 \cdot 2^{-10}

再考虑移位使之满足规格化的形式。
X=−0.101⋅2−5X = -0.101 \cdot 2^{-5}
Y=0.111011⋅2−4Y = 0.111011\cdot 2^{-4}

再最终化为补码的形式：

X=11,011;11,011000000X = 11,011;11,011000000 (分号前是阶码的补码表示：-5，分号后面是-0.101的补码表示)
Y=11,100;00,111011000Y = 11,100;00,111011000(分号前面是阶码的补码表示：-4，分号后面是0.111011的补码表示)

这里有我比较迷惑的一点，在表示-0.101的时候，化为补码我知道是11.011，但是尾数有9位，在后面要补1还是补0？

如果是补1的话就是：11.011,111,111补11.011,111,111_补化回来就是11.100,000,001原11.100,000,001_原,等同于末尾加了个1,且前面的三位也不是以前的了。因此补1是不行的。

如果补0：11.011,000,000补11.011,000,000_补化回来是11.101,000,000原11.101,000,000_原

我们知道后面的6个0，求反变成1后，是6个1，再因为加1会变成6个0并且往上进位一个1.
这里是不是因为11.011最低位是1，所以正确，如果是11.010补11.010_补呢？11.010补11.010_补对应的原码是11.110原11.110_原

我们把补码补位到9位：11.010,000,000补11.010,000,000_补，化回来是：11.110,000,000原11.110,000,000_原

模拟这个过程时，突然明白了补0的原因：原码的数据位变补码是求反加1，这个1加在原来数据位的最低位，现在最低位在补的数据位里成了中产阶级，这个1会加到新的数据位长度的位置上，这是不行的，因此这个补贴需要通过链式传递的方式传回来。因此，补位的补码全是0.

解释的原因就是想说，如果一个补码小数被扩大了尾数的表示位数，在低位补0.

Ok，表示结束后，开始对阶：小阶变大阶。

所以是X的阶码往大里变。

X=11,100;11,101,100,000补X = 11,100;11,101,100,000_补
Y=11,100;00,111,011,000补Y = 11,100;00,111,011,000_补

于是再进行尾数求和：[X尾]补−[Y尾]补=[X尾]补+[−Y尾]补[X_尾]_补-[Y_尾]_补 = [X_尾]_补 + [-Y_尾]_补

其中[−Y尾]补=[Y尾]补连同符号位求反加一[-Y_尾]_补 = [Y_尾]_补连同符号位求反加一

所以得到：10,110,001,00010,110,001,000所以有溢出，需要右规，变成：11,011,000,10011,011,000,100.
右归必然使得阶码加1，可以表示成：
11,100+00,001=11,10111,100 + 00,001 = 11,101

于是最终结果是：11,101;11,011,000,100.

也就是：2−3⋅(−0.1001111)2=−0.07714843752^{-3} \cdot (-0.1001111)_2 = -0.0771484375

~~而我们知道，如果真的计算 $X - Y = +0.0380859375$~~

~~可见，因为位数的限制，还是有很大的误差的。~~

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