微分方程之————微分方程的基本概念

前言

本文尝试用笔者自己能理解的语言总结讲解微分方程的基本概念，用于理清微分方程的基本的常识。
什么是函数？简单讲，函数就是一个用来描述输入输出关系的模型。我们可以建立很多模型，建模过程是通过寻找已有的输入与输出内在关系，建立一个函数，用于解决或预测一个以前未知的输入对应的输出，或者是输出来反推输入。
微分方式用来解决比较复杂的问题。什么是微分方程，找到含有要找的函数以及其导数的关系式，这样的关系式就是微分方程。而找出这个要找的未知函数，就是解微分方程。
可以看出，微分方程的解是一个函数！！！我们是要找到一个变化的关系。

概念引入

问题：一个曲线过点（1,2），且在该曲线上任意一点M(x,y)处的切线斜率为2x，求这个函数的方程。
解：设所求为y=φ(x)\text{y=}\varphi (x)y=φ(x)根据已知，可以得到dydx=2x\frac{\text{d}y}{dx}=2xdxdy=2x
又已知函数满足x=1x=1x=1时，y=2y=2y=2，前面的式子dydx=2x\frac{\text{d}y}{dx}=2xdxdy=2x积分，y=∫2xdxy=\int{2xdx}y=∫2xdx即为y=x2+Cy={{x}^{2}}+Cy=x2+C
于是将初始条件带入，得到C=1C = 1C=1因此解得函数曲线为y=x2+1y={{x}^{2}}+1y=x2+1
通过这个简单的例子，可以学习到一些最基本的概念。下面会详细介绍，这里对出现的一些概念进行一下简单的认识。
首先y=x2+Cy={{x}^{2}}+Cy=x2+C即为微分方程的通解（含有任意常数），一般都是得到通解，在根据所给的条件，例如y∣x=x0=y0\text{y}|_{x=x_{0}}=y_{0}y∣x=x0=y0这种条件，叫做初始条件。

分类方式

一般的微分方程可以分为三类

按倒数的类型
按阶数
按是否线性

1，方程中只出现一个独立自变量的微分方程称为常微分方程（Ordinary Differential Equations,PDEs）若是方程中出现两个以上独自变量偏导数，则称为偏微分方程，最典型的就是热传导方程。∂u∂t=k∂2u∂x2\frac{\partial \text{u}}{\partial t}=k\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}∂t∂u=k∂x2∂2u 变量的变化率有时间和变化率。
2，阶数就是出现的最高阶即为阶数
3，微分方程中，若是要找的函数以及其导数的任意阶是线性的，则该微分方程称为线性微分方程。

方程的解

通解
特解
初值问题的解
隐式解

1，通解是n阶微分方程含有n个独立常数的解y=φ(x)(x,C1,C2,L,Cn)\text{y=}\varphi (x)(x,C_1,C_2,L,C_n)y=φ(x)(x,C1,C2,L,Cn)，称为是他的通解，其中(x,C1,C2,L,Cn)(x,C_1,C_2,L,C_n)(x,C1,C2,L,Cn)独立是指其雅克比行列式不等于0。
2，特解不包含常量C
3，初值问题是指含有微分方程与初始条件。初值问题又名柯西问题。求积分得到通解，带入初始条件得到特解。
4，隐式解