MATLAB 数学应用 微分方程 时滞微分方程 dde23
dde23:求解带有固定时滞的时滞微分方程 (DDE)。
语法
sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan)
sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan,options)
参数
参数 | 说明 |
---|---|
ddefun | 用于对微分方程 y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ1),...,y(t−τk))y'(t)=f(t,y(t),y(t−τ_1),...,y(t−τ_k))y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ1),...,y(t−τk)) 右侧进行计算的函数句柄。此函数必须为以下形式:dydt = ddefun(t,y,Z);其中 t 对应当前 t,y 是一个求 y(t) 近似值的列向量,Z(:,j) 用于为时滞 τj = lags(j) 求 y(t – τj) 的近似值。输出是对应 f(t,y(t),y(t−τ1),...,y(t−τk))f(t,y(t),y(t−τ_1),...,y(t−τ_k))f(t,y(t),y(t−τ1),...,y(t−τk)) 的列向量。 |
lags | 固定正时滞向量 τ1, …, τk。 |
history |
按以下三种方式之一指定 history:
|
tspan | 从 t0=tspan(1) 到 tf=tspan(end) 的积分区间,其中 t0 < tf。 |
options | 可选积分参数。使用 ddeset 函数创建的结构体。 |
说明
sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan) 计算 DDE 结构体
y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ1),...,y(t−τk))y'(t)=f(t,y(t),y(t−τ_1),...,y(t−τ_k))y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ1),...,y(t−τk))
在 [t0,tf][t_0,t_f][t0,tf] 区间上的积分,其中 τ1,...,τkτ_1, ..., τ_kτ1,...,τk 为固定正时滞和 t0,tft_0,t_ft0,tf。输入参数 ddefun 是一个函数句柄。
dde23 以结构体 sol 的形式返回解。使用辅助函数 deval 和输出 sol 来计算区间 tspan = [t0,tf] 中的特定点 tint 的解。
yint = deval(sol,tint)
dde23 返回的结构体 sol 包含下列字段。
字段 | 含义 |
---|---|
sol.x | dde23 选择的网格 |
sol.y | sol.x 网格点处的 y(x) 近似值。 |
sol.yp | sol.x 网格点处的 y(x) 近似值 |
sol.solver | 求解器名称 ‘dde23’ |
sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan,options) 的解算方法与上述方法相同,只是将默认积分属性替换为了 options(使用 ddeset 创建的参数)中的值。
常用选项包括标量相对误差容限 ‘RelTol’(默认为 e−3e^{-3}e−3)和绝对误差容限的向量 ‘AbsTol’(默认情况下,所有分量均为 e−6e^{-6}e−6)。
使用 ‘Jumps’ 选项解决历史记录或求解中的不连续问题。将此选项设置为一个包含不连续性问题位置的向量,这些不连续性位于 t0t_0t0 之前的求解中(历史记录),或者位于 t0t_0t0 之后的 ttt 已知值位置的等式系数中。
使用 ‘Events’ 选项指定一个函数,dde23 调用该函数来找出函数 g(t,y(t),y(t−τ1),...,y(t−τk))g(t,y(t),y(t−τ_1),...,y(t−τ_k))g(t,y(t),y(t−τ1),...,y(t−τk)) 消失位置。此函数必须为以下形式
[value,isterminal,direction] = events(t,y,Z)
并包含一个事件函数以测试每个事件。对于 events 中的第 k 个事件函数:
- value(k) 是第 k 个事件函数的值。
- 如果想要积分在此事件函数为零时终止,则 isterminal(k) = 1;否则为 0。
- 如果想要 dde23 计算此事件函数的所有零,则 direction(k) = 0;如果仅计算事件函数呈上升趋势时的零,则 +1,如果仅计算事件函数呈下降趋势时的零,则 -1。
如果指定了 ‘Events’ 选项,并且检测到事件,输出结构体 sol 还包括下列字段:
字段 | 含义 |
---|---|
sol.xe | 包含所有事件位置的行向量,即事件函数消失的时间 |
sol.ye | 包含特定列数据的矩阵,其列值为与 sol.xe 中的时间对应的解 |
sol.ie | 索引向量,其中的索引值用于指定在 sol.xe 中的对应时间所发生的事件 |
示例
以下示例显示如何在 [0, 5] 区间上对 DDE 求解,其中 lags 为 1 和 0.2。ddex1de 函数计算时滞微分方程,ddex1hist 计算 t <= 0 的历史记录。
sol = dde23(@ddex1de,[1, 0.2],@ddex1hist,[0, 5]);
此代码在 [0,5] 的区间上以 100 个等间距点计算解,然后绘制结果。
tint = linspace(0,5);
yint = deval(sol,tint);
plot(tint,yint);
ddex1 显示如何使用局部函数解决此问题。
算法
dde23 跟踪不连续性并使用显式 Runge-Kutta (2,3) 对和插值对 ode23 求积分。它通过迭代来采用超过时滞的步长。
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