MATLAB 数学应用微分方程时滞微分方程解算时滞微分方程

时滞微分方程 (DDE) 是当前时间的解与过去时间的解相关的常微分方程。该时滞可以固定不变、与时间相关、与状态相关或与导数相关。要开始积分，通常必须提供历史解，以便求解器可以获取初始积分点之前的时间的解。

常时滞DDE

具有常时滞的微分方程组的形式如下：

y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) , y ( t − τ 1 ) , … , y ( t − τ k ) ) . y'(t)=f(t,y(t),y(t−τ_1),…,y(t−τ_k)). y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ1),…,y(t−τk)).

此处，t 为自变量，y 为因变量的列向量，而 y′ 表示 y 关于 t 的一阶导数。时滞 τ 1 , … , τ k τ_1,…,τ_k τ1,…,τk 是正常量。

dde23 函数用于求解具有历史解 y(t) = S(t)（其中 t < t0）的常时滞 DDE。

DDE 的解通常是连续的，但其导数不连续。dde23 函数跟踪低阶导数的不连续性，并使用 ode23 使用的同一显式 Runge-Kutta (2,3) 对和插值求微分方程的积分。对于大于时滞的步长而言，Runge-Kutta 公式是隐式的。当 y(t) 足够平滑以证明此大小的步长时，使用预测-校正迭代法计算隐式公式。

时间相关和状态相关的DDE

常时滞 DDE 是一种特殊情况，更为一般的 DDE 形式为：

y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) , y ( d y 1 ) , . . . , y ( d y p ) ) . y'(t)=f(t,y(t),y(dy_1),...,y(dy_p)). y′(t)=f(t,y(t),y(dy1),...,y(dyp)).

时间相关和状态相关的 DDE 涉及可能依赖于时间 t 和状态 y 的时滞 d y 1 、 . . . 、 d y k dy_1、...、dy_k dy1、...、dyk。时滞 d y j ( t , y ) dy_j(t, y) dyj(t,y) 必须满足 d y j ( t , y ) ≤ t dy_j(t, y) ≤ t dyj(t,y)≤t（在区间 [ t 0 , t f ] [t_0, t_f] [t0,tf] 上，其中 t 0 < t f t_0 < t_f t0<tf）。

ddesd 函数用于求具有历史解 y(t) = S(t)（其中 t < t 0 t < t_0 t<t0）的时间相关和状态相关 DDE 的解 y(t)。ddesd 函数使用标准的四级、四阶显式 Runge-Kutta 法来求积分，并它控制自然插值的余值大小。它使用迭代来采用超过时滞的步长。

中立型 DDE

中立型的时滞微分方程涉及在 y ′ 以及 y 中的时滞：

y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) , y ( d y 1 ) , . . . , y ( d y p ) , y ′ ( d y p 1 ) , . . . , y ′ ( d y p q ) ) . y'(t)=f(t,y(t),y(dy_1),...,y(dy_p),y'(dy_{p_1}),...,y'(dy_{p_q})). y′(t)=f(t,y(t),y(dy1),...,y(dyp),y′(dyp1),...,y′(dypq)).

解中的时滞必须满足 d y i ( t , y ) ≤ t dy_i(t,y) ≤ t dyi(t,y)≤t。一阶导数的时滞必须满足 d y p j ( t , y ) < t dy_{p_j}(t,y) < t dypj(t,y)<t，以便 y′ 不显示在方程两端。

ddensd 函数使用时间相关和状态相关 DDE 来逼近中立型 DDE，从而对其求解：

y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) , y ( d y 1 ) , . . . , y ( d y p ) ) . y'(t)=f(t,y(t),y(dy_1),...,y(dy_p)). y′(t)=f(t,y(t),y(dy1),...,y(dyp)).

计算特定点的解

使用 deval 函数和任何 DDE 求解器的输出来计算积分区间中的特定点处的解。例如，y = deval(sol, 0.5*(sol.x(1) + sol.x(end))) 计算积分区间中点处的解。

历史解和初始值

对 DDE 求解时，将在区间 [t0,tf]（其中 t0 < tf）上来逼近解。DDE 表明 y(t) 如何依赖于 t 之前的时间的解（及其可能的导数）的值。例如，具有常时滞时，y ′(t0) 依赖于 y(t0 – τ1),…,y(t0 – τk)，其中 τj 为正常量。因此，[t0, tk] 上的解依赖于其在 t ≤ t0 处具有的值。必须使用历史解函数 y(t) = S(t)（其中 t <t0）定义这些值。

DDE 中的不连续性

如果问题具有不连续性，最好使用 options 结构体将其传递给求解器。为此，请使用 ddeset 创建一个 options 结构体以包含问题中的不连续性。

options 结构体中有三个属性可用于指定不连续性；InitialY、Jumps 和 Events。选择的属性取决于不连续性的位置和特性。

不连续性的特性	属性	注释
在初始值 t = t0 处	InitialY	初始值 y(t0) 通常是历史解函数返回的值 S(t0)，也就是说，解在初始点连续。如果不属于此种情况，请使用 InitialY 属性提供一个不同的初始值。
在历史解（即 t <t0 的解）或在 t >t0 的方程系数中	Jumps	在向量中提供不连续处的已知位置 t，以作为 Jumps 属性的值。仅适用于 dde23。
与状态相关	Events	dde23、ddesd 和 ddensd 使用您提供的事件函数来查找这些不连续的位置。当求解器查找这种不连续的位置时，请重新启动积分以便继续。将当前积分的解结构体指定为新积分的历史解。求解器在每次重新启动之后扩展解结构体的每个元素，以使最终结构体为整个积分区间提供解。如果新问题与解变化相关，请使用 InitialY 属性指定新集成的初始值。

不连续性传播

通常，解的一阶导数在初始点处具有跳跃性。这是因为历史解函数 S(t) 的一阶导数通常在此点处不满足 DDE。当时滞为常量时，则 y(t) 的任何导数中的以间距 τ1,…, τk 传播不连续点。如果时滞不为常量，则不连续性的传播更复杂。对于常时滞 DDE 或时间相关和状态相关的 DDE 形式的中立型 DDE，每次传播时，不连续性会出现在高一阶的导数中。在这种意义上，解会随着积分的进行而变得更圆滑。中立型 DDE 中指定的形式的中立型 DDE 的解在性质上不同。解的不连续性不会传播到高阶的导数。特别是，y′(t) 中 t 0 t_0 t0 处的典型跳跃作为 y′(t) 中的跳跃传播到整个 [ t 0 , t f ] [t_0, t_f] [t0,tf]。