二阶等差数列的性质及应用

2024-06-07 06:43:35

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1. 通项的证明

首先是一阶等差数列，也即通常所说的等差数列：a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n，满足：

a2−a1=d…an−an−1=d

\begin{split} &a_2-a_1=d\\ &\ldots\\ &a_n-a_{n-1}=d\\ \end{split}

第 nn 项 ana_n，又可根据首项得到：

an=a1+(n−1)d

a_n=a_1+(n-1)d

我们再来看二阶等差数列的情况，数列 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n，满足：

(a3−a2)−(a2−a1)=d…(an−an−1)−(an−1−an−2)=d

\begin{split} &(a_3-a_2)-(a_2-a_1)=d\\ &\ldots\\ &(a_n-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=d \end{split}
现在想要知道第 nn 项和首项 a1a_1之间的关系。

证明如下：

(an−an−1)=(a2−a1)+(n−2)d⇓an=(a2−a1)+(n−2)d+an−1

(a_n-a_{n-1})=(a_2-a_1)+(n-2)d\\ \Downarrow\\ a_n=(a_2-a_1)+(n-2)d+a_{n-1}
据此得到 ana_n 的递推关系，不断地对 an−1,an−2a_{n-1}, a_{n-2}进行展开，最终得：

an=(n−1)(a2−a1)+(n−1)(n−2)2d+a1

a_n=(n-1)(a_2-a_1)+\frac{(n-1)(n-2)}2d+a_1

2. 分析

对于二阶等差数列而言，给出三项才能确定通项等等；
- a3,a2,a1a_3,a_2,a_1 ⇒
  - a2−a1a_2-a_1,
  - a3−2a2+a1=da_3-2a_2+a_1=d

二阶等差数列的简单判断：

{(a3−a2)−(a2−a1)=a3−2a2+a1=d(a4−a3)−(a3−a2)=a4−2a3+a2=d

\left\{ \begin{array}{l} (a_3-a_2)-(a_2-a_1)=a_3-2a_2+a_1=d\\ (a_4-a_3)-(a_3-a_2)=a_4-2a_3+a_2=d \end{array} \right.

只需验证前 4 项的关系，如果不符合以上两个等式，如果不相等，则一定构不成二阶等差数列。

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