0、前言

微分算子其应用着重于图像中的灰度突变区域，而非灰度级缓慢变化的区域。

之前所介绍的一阶微分算子，他们的计算都是一次，左边减去右边一次，下边减去上边一次，本节所介绍的是二阶微分算子，简单来说就是两次计算，左边减去右边两次，下边减去上边也是两次。

思路：

为了能设计出兼顾所有方向的''边缘滤波器''，就是即使不是360度划分的很密集的方向，那么至少是在上下垂直对角线上兼顾一下呢？操作就是使用减中心像素的思想，就是把四周的信息，和我们关心的中间点的信息进行对比，即把上下左右对角线上的和中间都比一下，把比较的总体结果进行一个中和；

1、二阶微分算子的性质

使用二阶微分进行图像锐化；

二阶微分，是一阶微分的导数，和一阶微分相对应，二阶微分的性质：

（1）在恒定区域二阶微分值为0；
（2）在灰度台阶或斜坡的起点处微分值不为0；
（3）沿着斜坡的微分值为0；

2、二阶微分算子

2.1、Laplacian算子

Laplacian算子是二阶的Sobel导数，在OpenCV中是通过调用Sobel算子来计算Laplacian算子的，使用的公式和卷积核如下：

如下计算P5点他的Laplacian算子的梯度：

88为一个图像中的像素点，计算该点的梯度值。

相当于是左边和右边运算两次： $P4-P5$ 和 $P6-P5$ （相当于上下与中间像素操作两次）

上边和下边运算两次： $P2-P5$ 和 $P8-P5$

一阶微分算子每个方向上(X和Y方向)都是运算了一次。(在同一个方向上只运算了一次。)

而二阶微分算子，Laplacian算子在X方向上是左边减去中间一次，右边也减去中间一次；在Y方向上下边减去中间，上边也减去中间。(切记操作都是取的绝对值)实际上每个方向上都运算了两次(所以是二阶导数，不知道这样理解对不对？意味着在同一个方向上边我进行了两次操作，都这么直观的理解二阶的由来)

在OpenCV里边不需要我们一步步的去算，他直接给我们提供了Laplacian这个函数：

通过调用下边函数就可以对图像进行Laplacian算子的梯度计算：

实际应用中，还会有假如对角线方向上的考虑。

PS：Laplacian其实就是一个二阶导数，用来寻找零交叉点的。

2.2、LOG算子

LOG(Laplacian of Gaussian)：在使用高斯滤波器对 $f(x,y)$ 滤波(平滑)之后，通过寻找零交叉来查找边缘。(因为二阶导数对图像是非常敏感的，所以一般先进行滤波操作，再进行边缘查找。)

参考链接：https://www.cnblogs.com/wj-1314/p/9800272.html

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