数据结构：最小生成树

数据结构：最小生成树详解链接：
https://blog.csdn.net/qq_35644234/article/details/59106779
原文非常详细。。感谢。。

1、什么是最小生成树

现在假设有一个很实际的问题：我们要在n个城市中建立一个通信网络，则连通这n个城市需要布置n-1一条通信线路，这个时候我们需要考虑如何在成本最低的情况下建立这个通信网？
于是我们就可以引入连通图来解决我们遇到的问题，n个城市就是图上的n个顶点，然后，边表示两个城市的通信线路，每条边上的权重就是我们搭建这条线路所需要的成本，所以现在我们有n个顶点的连通网可以建立不同的生成树，每一颗生成树都可以作为一个通信网，当我们构造这个连通网所花的成本最小时，搭建该连通网的生成树，就称为最小生成树。

构造最小生成树有很多算法，但是他们都是利用了最小生成树的同一种性质：MST性质（假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集，如果（u，v）是一条具有最小权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在一颗包含边（u，v）的最小生成树），下面就介绍两种使用MST性质生成最小生成树的算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

2、普里姆算法—Prim算法

算法思路：
首先就是从图中的一个起点a开始，把a加入U集合，然后，寻找从与a有关联的边中，权重最小的那条边并且该边的终点b在顶点集合：（V-U）中，我们也把b加入到集合U中，并且输出边（a，b）的信息，这样我们的集合U就有：{a,b}，然后，我们寻找与a关联和b关联的边中，权重最小的那条边并且该边的终点在集合：（V-U）中，我们把c加入到集合U中，并且输出对应的那条边的信息，这样我们的集合U就有：{a,b,c}这三个元素了，一次类推，直到所有顶点都加入到了集合U。

3、普里姆算法—代码实现

（1）采用的是邻接矩阵的方式存储图，代码如下

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using  namespace std;//首先是使用邻接矩阵完成Prim算法
struct Graph {int vexnum;  //顶点个数int edge;   //边的条数int ** arc; //邻接矩阵string *information; //记录每个顶点名称
};//创建图
void createGraph(Graph & g) {cout << "请输入顶点数：输入边的条数" << endl;cin >> g.vexnum;cin >> g.edge;  //输入边的条数g.information = new string[g.vexnum];g.arc = new int*[g.vexnum];int i = 0;//开辟空间的同时，进行名称的初始化for (i = 0; i < g.vexnum; i++) {g.arc[i] = new int[g.vexnum];g.information[i]="v"+ std::to_string(i+1);//对每个顶点进行命名for (int k = 0; k < g.vexnum; k++) {g.arc[i][k] = INT_MAX;          //初始化我们的邻接矩阵}}cout << "请输入每条边之间的顶点编号(顶点编号从1开始),以及该边的权重：" << endl;for (i = 0; i < g.edge; i++) {int start;int end;cin >> start;   //输入每条边的起点cin >> end;     //输入每条边的终点int weight;cin >> weight;g.arc[start-1][end-1]=weight;//无向图的边是相反的g.arc[end-1][start-1] = weight;}
}//打印图
void print(Graph g) {int i;for (i = 0; i < g.vexnum; i++) {//cout << g.information[i] << " ";for (int j = 0; j < g.vexnum; j++) {if (g.arc[i][j] == INT_MAX)cout << "∞" << " ";elsecout << g.arc[i][j] << " ";}cout << endl;}
}//作为记录边的信息，这些边都是达到end的所有边中，权重最小的那个
struct Assis_array {int start; //边的终点int end;  //边的起点int weight;  //边的权重
};
//进行prim算法实现，使用的邻接矩阵的方法实现。
void Prim(Graph g,int begin) {//close_edge这个数组记录到达某个顶点的各个边中的权重最大的那个边Assis_array *close_edge=new Assis_array[g.vexnum];int j;//进行close_edge的初始化，更加开始起点进行初始化for (j = 0; j < g.vexnum; j++) {if (j != begin - 1) {close_edge[j].start = begin-1;close_edge[j].end = j;close_edge[j].weight = g.arc[begin - 1][j];}}//把起点的close_edge中的值设置为-1，代表已经加入到集合U了close_edge[begin - 1].weight = -1;//访问剩下的顶点，并加入依次加入到集合Ufor (j = 1; j < g.vexnum; j++) {int min = INT_MAX;int k;int index;//寻找数组close_edge中权重最小的那个边for (k = 0; k < g.vexnum; k++) {if (close_edge[k].weight != -1) {  if (close_edge[k].weight < min) {min = close_edge[k].weight;index = k;}}}//将权重最小的那条边的终点也加入到集合Uclose_edge[index].weight = -1;//输出对应的边的信息cout << g.information[close_edge[index].start] << "-----" << g.information[close_edge[index].end]<< "="<<g.arc[close_edge[index].start][close_edge[index].end]<<endl;//更新我们的close_edge数组。for (k = 0; k < g.vexnum; k++) {if (g.arc[close_edge[index].end][k] <close_edge[k].weight) {close_edge[k].weight = g.arc[close_edge[index].end][k];close_edge[k].start = close_edge[index].end;close_edge[k].end = k;}}}
}int main()
{Graph g;createGraph(g);//基本都是无向网图，所以我们只实现了无向网图print(g);Prim(g, 1);system("pause");return 0;
}

输入：

运行结果：

∞ 6 1 5 ∞ ∞
6 ∞ 5 ∞ 3 ∞
1 5 ∞ 5 6 4
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6
∞ ∞ 4 2 6 ∞
v1-----v3=1
v3-----v6=4
v6-----v4=2
v3-----v2=5
v2-----v5=3
请按任意键继续. . .

时间复杂度的分析：
其中我们建立邻接矩阵需要的时间复杂度为：O(n∗n)O(n∗n)O(n*n), 然后，我们Prim函数中生成最小生成树的时间复杂度为：O(n∗n)O(n∗n)O(n*n).

（2）采用的是邻接表的方式存储图，代码如下

#include<iostream>
#include<string>
using  namespace std;
//表结点
struct ArcNode {int adjvex;      //某条边指向的那个顶点的位置（一般是数组的下标）。ArcNode * next;  //指向下一个表结点int weight;      //边的权重
};
//头结点
struct Vnode {ArcNode * firstarc;  //第一个和该顶点依附的边 的信息string data;       //记录该顶点的信息。
};struct Graph_List {int vexnum;     //顶点个数int edge;       //边的条数Vnode * node;  //顶点表
};//创建图，是一个重载函数
void createGraph(Graph_List &g) {cout << "请输入顶点数：输入顶点边的个数：" << endl;cin >> g.vexnum;cin >> g.edge;g.node = new Vnode[g.vexnum];int i;for (i = 0; i < g.vexnum; i++) {g.node[i].data = "v" + std::to_string(i + 1);  //对每个顶点进行命名g.node[i].firstarc = NULL;//初始化每个顶点的依附表结点}cout << "请输入每条边之间的顶点编号(顶点编号从1开始),以及该边的权重：" << endl;for (i = 0; i < g.edge; i++) {int start;int end;cin >> start;   //输入每条边的起点cin >> end;     //输入每条边的终点int weight;cin >> weight;ArcNode * next = new ArcNode;next->adjvex = end - 1;next->next = NULL;next->weight = weight;//如果第一个依附的边为空if (g.node[start - 1].firstarc == NULL) {g.node[start - 1].firstarc = next;}else {ArcNode * temp; //临时表结点temp = g.node[start - 1].firstarc;while (temp->next) {//找到表结点中start-1这个结点的链表的最后一个顶点temp = temp->next;}temp->next = next;  //在该链表的尾部插入一个结点}//因为无向图边是双向的ArcNode * next_2 = new ArcNode;next_2->adjvex = start - 1;next_2->weight = weight;next_2->next = NULL;//如果第一个依附的边为空if (g.node[end - 1].firstarc == NULL) {g.node[end - 1].firstarc = next_2;}else {ArcNode * temp; //临时表结点temp = g.node[end - 1].firstarc;while (temp->next) {//找到表结点中start-1这个结点的链表的最后一个顶点temp = temp->next;}temp->next = next_2;  //在该链表的尾部插入一个结点}}
}void print(Graph_List g) {cout<<"图的邻接表："<<endl;for (int i = 0; i < g.vexnum; i++) {cout << g.node[i].data << " ";ArcNode * next;next = g.node[i].firstarc;while (next) {cout << "("<< g.node[i].data <<","<<g.node[next->adjvex].data<<")="<<next->weight << " ";next = next->next;}cout << "^" << endl;}
}作为记录边的信息，这些边都是达到end的所有边中，权重最小的那个
struct Assis_array {int start; //边的终点int end;  //边的起点int weight;  //边的权重
};void Prim(Graph_List g, int begin) {cout << "图的最小生成树：" << endl;//close_edge这个数组记录到达某个顶点的各个边中的权重最大的那个边Assis_array *close_edge=new Assis_array[g.vexnum];int j;for (j = 0; j < g.vexnum; j++) {close_edge[j].weight = INT_MAX;}ArcNode * arc = g.node[begin - 1].firstarc;while (arc) {close_edge[arc->adjvex].end = arc->adjvex;close_edge[arc->adjvex].start = begin - 1;close_edge[arc->adjvex].weight = arc->weight;arc = arc->next;}//把起点的close_edge中的值设置为-1，代表已经加入到集合U了close_edge[begin - 1].weight = -1;//访问剩下的顶点，并加入依次加入到集合Ufor (j = 1; j < g.vexnum; j++) {int min = INT_MAX;int k;int index;//寻找数组close_edge中权重最小的那个边for (k = 0; k < g.vexnum; k++) {if (close_edge[k].weight != -1) {if (close_edge[k].weight < min) {min = close_edge[k].weight;index = k;}}}//输出对应的边的信息cout << g.node[close_edge[index].start].data<< "-----"<< g.node[close_edge[index].end].data<< "="<< close_edge[index].weight<<endl;//将权重最小的那条边的终点也加入到集合Uclose_edge[index].weight = -1;//更新我们的close_edge数组。            ArcNode * temp = g.node[close_edge[index].end].firstarc;while (temp) {if (close_edge[temp->adjvex].weight > temp->weight) {close_edge[temp->adjvex].weight = temp->weight;close_edge[temp->adjvex].start = index;close_edge[temp->adjvex].end = temp->adjvex;}temp = temp->next;}}}
int main()
{Graph_List g;createGraph(g);print(g);Prim(g, 1);system("pause");return 0;
}

时间复杂分析：
在建立图的时候的时间复杂为：O(n+e),在执行Prim算法的时间复杂还是：O(n*n)，总体来说还是邻接表的效率会比较高，因为虽然Prim算法的时间复杂度相同，但是邻接矩阵的那个常系数是比邻接表大的。

另外，Prim算法的时间复杂度都是和边无关的，都是O(n*n)，所以它适合用于边稠密的网建立最小生成树。但是了，我们即将介绍的克鲁斯卡算法恰恰相反，它的时间复杂度为：O(eloge)，其中e为边的条数，因此它相对Prim算法而言，更适用于边稀疏的网。

4、克鲁斯卡算法

算法思路：
（1）将图中的所有边都去掉。
（2）将边按权值从小到大的顺序添加到图中，保证添加的过程中不会形成环
（3）重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。

5、克鲁斯卡算法的代码实现

/************************************************************/
/*                程序作者：Willam                          */
/*                程序完成时间：2017/3/3                    */
/*                有任何问题请联系：2930526477@qq.com       */
/************************************************************/
//@尽量写出完美的程序#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;//检验输入边数和顶点数的值是否有效，可以自己推算为啥：
//顶点数和边数的关系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge
bool check(int Vexnum,int edge) {if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)return false;return true;
}//判断我们每次输入的的边的信息是否合法
//顶点从1开始编号
bool check_edge(int Vexnum, int start ,int end, int weight) {if (start<1 || end<1 || start>Vexnum || end>Vexnum || weight < 0) {return false;}return true;
}//边集结构，用于保存每条边的信息
typedef struct edge_tag {bool visit; //判断这条边是否加入到了最小生成树中int start;   //该边的起点int end;   //该边的终点int weight; //该边的权重
}Edge;//创建一个图，但是图是使用边集结构来保存
void createGraph(Edge * &e,int Vexnum, int edge) {e = new Edge[edge];//为每条边集开辟空间int start = 0;int end = 0;int weight = 0;int i = 0;cout << "输入每条边的起点、终点和权重：" << endl;while (i != edge){cin >> start >> end >> weight;while (!check_edge(Vexnum, start, end, weight)) {cout << "输入的值不合法，请重新输入每条边的起点、终点和权重：" << endl;cin >> start >> end >> weight;}e[i].start = start;e[i].end = end;e[i].weight = weight;e[i].visit = false; //每条边都还没被初始化++i;}
}//我们需要对边集进行排序，排序是按照每条边的权重，从小到大排序。
int cmp(const void*  first, const void * second) {return ((Edge *)first)->weight - ((Edge *)second)->weight;
}//好了，我们现在需要做的是通过一定的方式来判断
//如果我们把当前的边加入到生成树中是否会有环出现。
//通过我们之前学习树的知识，我们可以知道如果很多棵树就组成一个森林，而且
//如果同一颗树的两个结点在连上一条边，那么就会出现环，
//所以我们就通过这个方式来判断加入了一个新的边后，是否会产生环，
//开始我们让我们的图的每个顶点都是一颗独立的树，通过不断的组合，把这个森林变
//成来源于同一颗顶点的树
//如果不理解，画个图就明白了，//首先是找根节点的函数,
//其中parent代表顶点所在子树的根结点
//child代表每个顶点孩子结点的个数
int find_root(int child, int * parent) {//此时已经找到了该顶点所在树的根节点了if (parent[child] == child) {return child;}//往前递归，寻找它父亲的所在子树的根结点parent[child] = find_root(parent[child], parent);return parent[child];
}//合并两个子树
bool union_tree(Edge  e, int * parent, int * child) {//先找出改边所在子树的根节点int root1;int root2;//记住我们顶点从1开始的，所以要减1root1 = find_root(e.start-1, parent);root2 = find_root(e.end-1, parent);//只有两个顶点不在同一颗子树上，才可以把两棵树并未一颗树if (root1 != root2) {//小树合并到大树中，看他们的孩子个数if (child[root1] > child[root2]) {parent[root2] = root1;//大树的孩子数量是小树的孩子数量加上//大树的孩子数量在加上小树根节点自己child[root1] += child[root2] + 1;}else {parent[root1] = root2;child[root2] += child[root1] + 1;}return true;}return false;
}//克鲁斯卡算法的实现
void Kruskal() {int Vexnum = 0;int edge = 0;cout << "请输入图的顶点数和边数：" << endl;cin >> Vexnum >> edge;while (!check(Vexnum, edge)) {cout << "你输入的图的顶点数和边数不合法，请重新输入：" << endl;cin >> Vexnum >> edge;}//声明一个边集数组Edge * edge_tag;//输入每条边的信息createGraph(edge_tag, Vexnum, edge);int * parent = new int[Vexnum]; //记录每个顶点所在子树的根节点下标int * child = new int[Vexnum]; //记录每个顶点为根节点时，其有的孩子节点的个数int i;for (i = 0; i < Vexnum; i++) {parent[i] = i;child[i] = 0;}//对边集数组进行排序，按照权重从小到达排序qsort(edge_tag, edge, sizeof(Edge), cmp);int count_vex; //记录输出的边的条数count_vex = i = 0;while (i != edge) {//如果两颗树可以组合在一起，说明该边是生成树的一条边if (union_tree(edge_tag[i], parent, child)) {cout << ("v" + std::to_string(edge_tag[i].start))<< "-----"<< ("v" + std::to_string(edge_tag[i].end))<<"="<< edge_tag[i].weight<< endl;edge_tag[i].visit = true;++count_vex; //生成树的边加1}//这里表示所有的边都已经加入成功if (count_vex == Vexnum - 1) {break;}++i;}if (count_vex != Vexnum - 1) {cout << "此图为非连通图！无法构成最小生成树。" << endl;}delete [] edge_tag;delete [] parent;delete [] child;
}int main() {Kruskal();system("pause");return 0;
}