考研_数学二_中值定理_证明题

题目来源：汤家凤2020《接力题典1800》p.23_39

Q：为什么会想到设这么复杂的辅助函数？
A：题目要证明的是
af(ξ)−(b−ξ)f′(ξ)=0af(\xi) - (b - \xi) f'(\xi) = 0 af(ξ)−(b−ξ)f′(ξ)=0

这个式子应该是提出一个不为0的（可能或者说应该含有x的）公因式后代入x=ξx = \xix=ξ得到的。设提出的公因式为p(x)p(x)p(x)。

还原
p(x)[af(x)−(b−x)f′(x)]p(x) [af(x) - (b - x) f'(x)] p(x)[af(x)−(b−x)f′(x)]

打开中括号
ap(x)f(x)−(b−x)p(x)f′(x)a p(x) f(x) - (b - x) p(x) f'(x) ap(x)f(x)−(b−x)p(x)f′(x)

设辅助函数为
h(x)=q(x)f(x)h(x) = q(x)f(x) h(x)=q(x)f(x)

求一阶导
h′(x)=q′(x)f(x)+q(x)f′(x)h'(x) = q'(x) f(x) + q(x) f'(x) h′(x)=q′(x)f(x)+q(x)f′(x)

和前面打开中括号的式子对比
ap(x)=q′(x)−(b−x)p(x)=q(x)ap(x) = q'(x)\\-(b - x)p(x) = q(x) ap(x)=q′(x)−(b−x)p(x)=q(x)

整理
p(x)=1aq′(x)p(x)=1x−bq(x)p(x) = \dfrac 1a q'(x) \\ p(x) = \dfrac{1}{x - b} q(x) p(x)=a1q′(x)p(x)=x−b1q(x)

联立两式
1aq′(x)=1x−bq(x)\dfrac 1a q'(x) = \dfrac{1}{x - b}q(x) a1q′(x)=x−b1q(x)

为了简便，设
q(x)=y,q′(x)=y′=dydxq(x) = y, q'(x) = y' = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} q(x)=y,q′(x)=y′=dxdy

则
1adydx=1x−by\dfrac 1a \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{x - b} y a1dxdy=x−b1y

整理
1ydy=ax−bdx\dfrac 1y \, \mathrm{d}y = \dfrac{a}{x - b} \, \mathrm{d}x y1dy=x−badx

两边求不定积分
∫1ydy=a∫1x−bd(x−b)\displaystyle \int \dfrac 1y \, \mathrm{d}y = a \int \dfrac{1}{x - b} \, \mathrm{d}(x - b) ∫y1dy=a∫x−b1d(x−b)

得
ln⁡y=aln⁡∣x−b∣\ln y = a \ln |x - b| lny=aln∣x−b∣

因为b > x，有ln⁡∣x−b∣=ln⁡∣−(b−x)∣=ln⁡∣b−x∣=ln⁡(b−x)\ln | x - b | = \ln | - (b - x) | = \ln | b - x | = \ln (b - x)ln∣x−b∣=ln∣−(b−x)∣=ln∣b−x∣=ln(b−x)，则

ln⁡y=aln⁡(b−x)=ln⁡[(b−x)a]\ln y = a \ln (b - x) = \ln \left[ (b - x)^a \right] lny=aln(b−x)=ln[(b−x)a]

即
y=(b−x)ay = (b - x)^a y=(b−x)a

所以我们设的辅助函数为
h(x)=(b−x)af(x)h(x) = (b - x)^a f(x) h(x)=(b−x)af(x)

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