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矩阵光学 魏光辉第一章 矩阵及其运算1.1矩阵、矢量和张量矩阵的概念：对角矩阵： (对角矩阵即为除了对角线的元素外，其它元素阶为零)单位矩阵：标量、矢量和张量：三维空间的m阶张量可以有个独立分量，n维空间的m阶张量可以有个独立分量。矢量可以视为一阶张量，标量可以视为零阶张量。电场是一个矢量。一个矢量可以用行阵或列阵来表示；一个二阶张量可以用方阵表示；m阶张量可以用行列矩阵表示。1.2矩阵的加法和乘法矩阵加法：矩阵乘法：A为矩阵，B为矩阵，C为，C为矩阵。其中。若，则B可以描述P维空间中的n阶张量，若，则C为矩阵，由此可见，一个张量矩阵可以被列数与其行数相同的方阵左乘，得到另一个具有相同行列数的矩阵。因此，一个用单列矩阵表示的矢量，被列数与其行数相同的方阵左乘，仍得相同行数的矢量。矩阵的减法：；由多项式为元素的矩阵可以进行分解，例：

矩阵连乘：A为矩阵，B为矩阵，C为矩阵，则，有。(注意：如果矩阵A和B中至少有一个是零矩阵，则它们的乘积C=AB必为零矩阵；但如果C=AB为零矩阵，则A和B不一定为零矩阵。)

矩阵乘法性质：矩阵乘法满足结合律；矩阵乘法不满足交换律；满足交换律的特例：(1)一个常数与矩阵相乘；(2)单位矩阵与任一同阶方阵对易；(3)任意方阵与其自身对易，并与其自身的任意次幂对易；(4)阶数相同的对角矩阵可以对易；满足乘法对加法的分配律：A(B+C)=AB+AC设A、B是行列数相同的两个矩阵，且K和L是两个常数，则有：K(A+B)=KA+KB;(K+L)A=KA+LA;K(LA)=(KL)A;K(AB)=(KA)B=A(KB).1.3变换的矩阵表示正交变换：认为长度不变的变换即为正交变换。在三维空间中，直角坐标系有一个转动，则有，其长度为保持不变，即，所以为正交变换。展开可写为：，其中称为正交矩阵。进行两次变换后可写为：进行n次变换后，则有：变换举例：研究矩阵的n次方，其中 其中，这是激光器谐振腔的ABCD方程。对标量、矢量和张量的概念作进一步讨论：标量：在正交变换下，数值不变的量。例如，矢量的长度。矢量：矢量的长度再坐标轴的正交变换下保持不变。如，在一直角坐标系的旋转用表示，其中，这里省略了矢量符号，变换后为，且，其中某一矢量B可以表示为，和分别为矢量B在旧、新坐标下的分量。用点乘方程两侧，则有。由此可见，正交矩阵的各个分量可以写为：，则。(注：微分算符的变换规则与矢量相同，即)张量：定义矢量的一种运算方法，并矢。设U和V为两个矢量，则，

则即为一个二阶张量，，其中，张量之间再进行并矢可以得到更高阶的张量。为了确定张量的正交变换规则，首先定义两条基本运算法则：张量与矢量点乘：，则有，类似地，但二者并不相等，即张量与矢量点乘不具有交换律。两个二阶张量的点乘：

这是一个标量，可以证明，满足交换律。由此可导出张量的正交变换的规则，设新、旧坐标系为和，张量可以表示为，用点乘方程的后部，则有，设，则有，此即为二阶张量在坐标轴进行正交变换时所遵循的变换规律。扩展到高阶张量为，对称张量： 反对称张量： 由定义可看出反对称张量对角元为0，即 可以用一个对称张量T(S)和一个反对称张量T(A)之和组合成一个二阶张量。证明：令，并设，由矩阵加碱法，则有，

根据矩阵对称性质，可知，则有，

两式联立可有，

1.4转置矩阵转置矩阵：特例：行阵的转置为列阵，列阵的转置为行阵；两个矩阵的转置等于它们各自转置并反转乘积的次序，即，推广到n个矩阵相乘的情况，则有。对称方阵：若方阵A的转置等于它自身，即。对称方阵性质：(1)其转置仍为对称方阵；(2)数乘对称方阵仍为对称方阵；(3)两对称方阵的和仍为对称方阵；(4)两对称方阵的乘积仍为对称方阵的条件为这两个方阵满足乘法规律，并适合乘法交换律，即；(5)单位方阵与任意同阶对称方阵乘积仍为对称方阵；(6)对称方阵的n次幂仍为对称方阵；(7)两个同阶对角方阵的乘积仍是对角方阵，且是对称方阵，n个同阶对称方阵的乘积仍为对角方阵，其对角元等于各因子相应对角元之积。正交方阵：若方阵A和它的转置为单位矩阵，即，则称A为正交方阵。单行矩阵为正交的条件是它左乘其转置列阵得到数1，即(总后面分析可见，正交方阵满足：)。5逆矩阵行列式：方阵A的行列式可表示为二阶行列式展开：三阶行列式展开：

行列式不为零的矩阵称为“非奇异矩阵”；两个方阵乘积的行列式，等于它们各自行列式的乘积：；n个方阵乘积的行列式，等于它们各自行列式的乘积：；(注意：相乘矩阵的行列式满足乘法交换律，即)逆矩阵：，称和互为逆矩阵，并且逆矩阵是唯一的。 (注：非奇异矩阵才有逆矩阵，这里为了避开矩阵的“伴随阵”和行列式的“代数余子式”等概念