醉汉漫步 Drunkard's walk

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有边界区域的波，是无限数目的波的叠加（傅里叶级数）。我们也会遇到另外的一种无限数目的叠加–能量级数。他们在现实的工程和物理应用中经常用到。除了在鼓膜上描述振动，他们也存在于流体问题和量子理论。
在我们课程的最后，我们使用能量级数来解决氢原子问题，这些能量技术有可分离的变量。我们也会使用我们的解来梗概电子的轨道。
分离变量法是很有用的工具当我们解决域是简单的形状时，例如长方形或者圆。但我们仍需要更加高级的技术，比如能量级数。
对于无限域的情形，例如3D压缩波，这些波遵循这样的方程

这里u(x,y,z,t)是空气在（x,y,z）点的压缩/伸缩量。为了解决这个问题，我们需要新的工具，傅里叶变换。

傅里叶变换与随机游走方程

傅里叶变换把一个PDE（偏微分方程）变成一个简单的普通微分方程。当域是所有的空间，且未知的u在无穷点消失时，这个方法更加有效。
考虑Drunkard’s Walk. Jack尝试从酒吧回家，但是他从现在的位置会随机的向左或者向右。如果x=0是他的起始位置，u(x,t)是他在t时刻在x位置的概率。

u是遵循扩散方程的：

假设x的范围是非常大的[-infinite,infinite]，那么在无穷的边界处，

既然在x->infinite时，u->0，扩散方程就是一个perfect candidate for 傅里叶变换。
简单来说，傅里叶变换F 可以将d/dx 变为 iw

那么，醉汉的微分方程可以变为：

推导过程：

傅里叶变换后的方程是非常容易解决的，得到：

一般来说，从傅里叶变换求原来的表达式，是比较复杂的。不过很幸运，上述的表达跟一个已知的表达式很像，

对照，代换，可以到的u的表达式子：

结果分析

这是一个一维模型，只有x。

在固定的时刻，t，jack处在x的概率基本服从高斯分布。
随着时间变大，高斯函数在变平，也就是jack越来越脱离原始的点，此时x的期望应该是变大的。猜测期望随着t变大。

本人搜索了网上的随机游走，发现没有从物理扩散角度讲解的，故翻译外网一篇文章，可供大家定量分析。