不废话直接开始

今天的高数书摸起来依旧那么有感觉

让我们继续看看映射之后又讲了什么

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函数

函数，大家肯定都听过，但是要具体描述是个啥，可能大家都只有个抽象的概念

让我康康书里怎么说

函数定义

设数集D属于R，则称映射f：D->R为定义在D上的函数，

记为y=f（x），x属于D，

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记做Df，即Df=D

上一篇博客讲映射的时候其实我漏了一个东西，就是这个

f：X->Y

应该说这个才是映射原本的样子，而对应的y=f（x）才被称为函数，所以函数其实是映射对应而来，而映射的抽象概念在上一篇有讲过了，通过映射再将函数联系起来再细化，就能得出函数的抽象概念，而不只是一道式子

函数内的术语

从映射到函数，其中包含的元素叫法也有所更换

x通过法则f得到的y被称为函数f（即映射f：x->y）在x处的函数值，记做f（x），即y=f（x）

因变量y与自变量x之间的依赖关系被称之为函数关系

函数值f（x）的全体所构成的集合称为函数f的值域

定义域

不难看出，无论是函数还是映射，构成的要素其实只有两个，一个就是X，一个就是法则f，只要前两个确定下来，Y就能被确定

法则一般按照具体问题具体分析，这里难以展开讲，那还有一个要素便是函数的定义域，也就是X

X通常按照两种情况来确定：一种是有实际背景的函数，比如自由落体运动，设自变量为下落的时间，因变量为下落的距离，则定义域为[0，T]

另一种是抽象的用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域为使得该函数有意义的一切集合，例如y=（1-x）^1/2，定义域x为（无穷小，1]

符号函数

这个东西啊，藏得很深，其实也不算很深，就是容易被忽略，因为他藏在例题里面，而这又是什么例题呢？函数表达方式的举例，有表格法，图像法和解析法（也就是公式法）

拜托，这东西初中就学过了谁会看呀，老师上课都不一定讲，但是呢，这个所谓的符号函数就藏在一道例题里面，要不是像我这种一字一字看的还真容易忽略

不bb直接告诉你们符号函数是个啥

上面那个y=sgn x就是符号函数，函数的图像如上，且x满足右边圈起来的式子

所以其实符号函数是一个特殊的函数，不是一个函数类别什么的

这个东西呢看起来没什么用但是后面有时候会提到，所以这里就先标记一下

后面几道例题讲了分段函数和阶梯曲线什么的，比较浅显，就不深入

函数的特性

1.有界性

简单来说就是，一个函数f（x），定义域为X，对于任意在X内的x，存在一个数K使得f（x）的值永远小于它，则称该函数在X内有上界，而K便称为函数f（x）在X上的一个上界

反之则为下界

如果存在一个数M使得上述的f（x）在X内任意x的绝对值永远小于它，则称这个函数在X内有界

如果对于任意正数M，使得上述的f（x）在X内任意x的绝对值永远大于它，那么在函数f（x）在X上无界

注意：此特性不难理解，但是有些点容易忽略，就是我加粗的部分，界好理解，但是要注意界是有在一定范围内的，不是对于整个函数，而是函数的一部分

2. 单调性

单调递增和单调递减只是个基础概念

即某函数在某一区间内当x1<x2时，f（x1）<f（x2），则函数在此区间上单调递增

反之为单调递减

3.奇偶性

偶函数：f（x）=f（-x）

奇函数：f（-x）=-f（x）

这个大家都知道我就讲几个注意的点

首先奇偶性是建立在函数定义域关于原点对称的情况下才能讨论的

其次

奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

奇函数×偶函数=奇函数

4.周期性

f（x）=f（x+l）

x和x+l都在此函数的定义域上，称f（x）为周期函数，l为f（x）的周期

这个知识点没啥东西，不过他补了个知识点在例题那里，我甚至怀疑是不是出版的看这里太没劲才加的

狄利克雷函数

这是一个典型的周期函数，乍一看其实没看懂，主要是忘了Q和Q^c范围是啥了，补一下这个东西

1、全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N

2、非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）

3、全体整数的集合通常称作整数集，记作Z

4、全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q

5、全体实数的集合通常简称实数集，记作R

6、复数集合计作C

7、全体无理数的集合通常简称无理数集，记作Q^c

所以不难看出

狄利克雷函数是一个周期函数，任意正有理数r都是次函数的周期

5.反函数和复合函数

这个在映射里面讲过了，要注意的有下面几点

反函数或反映射的条件都是单射才有反函数或反映射

对于单调函数来讲，只要是单射，则此函数的反函数必定存在

原函数和反函数在图像上关于y=x对称

复合函数的要求与复合映射一样，里函数的值域范围要在外函数的定义域范围内才能构成复合函数，因为里函数计算出来的结构要交给外函数进行运算，所以不能超出外函数的定义域范围

6.函数的运算

这部分没什么，按照惯例还是例题比较有意思

证明：函数f（x）在定义域（l，-l）上，必定存在奇函数h（x）和偶函数g（x）使得

f（x）=g（x）+ h（x）

大家就当个结论记吧，有兴趣的同学可以试试证明看，只用基本的函数加减和函数的奇偶性就能证明了

7.初等函数

这个只是个概念，大家记一记，以防题干提到你不知道是哪些

幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数

以上这些都是基本初等函数

而由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数称为初等函数

在本课中提到的基本都是初等函数

芜湖，出现了，只要是没什么内容的知识点，都会强行塞一些东西进去，之前都是塞在例题里面，这次不装了，直接告诉你我到底要坑你啥

这里书里说到了几个函数

怎么说呢，书里用了大量的篇幅去解释这几个函数

但跟后面的知识关系不大

所以我打算单独写一篇博客来讲这个东西

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那么到此高数开篇的第一章第一节映射与函数就全部讲完了

我看得细，该提的点也提了，前面看得这么细是也是希望能把基础打好，让大家能像我一样能真的去理解它而不是只知道有这个东西，毕竟函数是数学界不可撼动的基石，深化理解他总是有好处的，下一篇可能会写写第一节后面的习题，下篇再见咯

溜了

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