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Day5：计数质数

一. 问题背景：

统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。

二. 解决思路：

埃拉托色尼筛选法：

先将（2，N）的各数放入表中，然后在 2 的上面画一个圆圈，然后划去 2 的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是 3，将它画圈，再划去 3 的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数是 5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N 的素数。

转换为代码就是如果需要求<n的所有质数个数，则创建一个长度为n的整数数组，所有元素值变为1，1表示对应的索引值为质数，0表示对应的索引值为非质数。从2开始遍历，如果当前数字值为1，则获取其所有倍数，将元素值变为0（标记为非质数）。遍历完成后再次遍历数组，从2开始，记录元素为1的个数，即为对应的质数个数。

三. 算法实现：

#原方法
import numpy as npdef eratosthenes(n):p = np.ones(n, dtype=np.int8)for i in range(2, int(n**0.5 + 1)):if(p[i] == 1):p[i*i::i] = 0return p[2:].sum()result = eratosthenes(25)
print(result)#改进版，直接删去全部偶数
import numpy as npdef eratosthenes(n):if n < 3:return 0n = n >> 1p = np.ones(n, dtype=np.int8)i, j = 1, 3  #i表示位置，j表示位置实际代表的数，j=i*2+1while i < n**0.5:if p[i]:p[j**2 >> 1::j] = 0i, j = i + 1, j + 2     return p.sum()result = eratosthenes(25)
print(result)#不借助numpy,使用列表的方法
def countPrimes(n):if n < 3:return 0     else:# 首先生成了一个全部为1的列表output = [1] * n# 因为0和1不是质数,所以列表的前两个位置赋值为0output[0],output[1] = 0,0# 此时从index = 2开始遍历,output[2]==1,即表明第一个质数为2,然后将2的倍数对应的索引# 全部赋值为0. 此时output[3] == 1,即表明下一个质数为3,同样划去3的倍数.以此类推.for i in range(2,int(n**0.5)+1): if output[i] == 1:output[i*i:n:i] = [0] * len(output[i*i:n:i])# 最后output中的数字1表明该位置上的索引数为质数,然后求和即可.return sum(output)result = countPrimes(25)
print(result)

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