mobius反演的本质是容斥原理，这在《组合数学》里面有提到

基本公式定理

mobius反演公式

F(n)f(n)=∑d∣nf(d)=∑d∣nμ(n/d)F(d)=∑d∣nμ(d)F(n/d)

\begin{align}F(n) &= \sum_{d\mid n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d\mid n}\mu(n/d)F(d)\\&=\sum_{d\mid n}\mu(d)F(n/d)\\\end{align}
另一种描述:

F(d)f(d)=∑d∣nf(n)=∑d∣nF(n)μ(n/d)

\begin{align}F(d)&=\sum_{d\mid n}f(n)\\f(d)&=\sum_{d\mid n}F(n)\mu(n/d)\end{align}
经典公式

nϕ(n)∑d∣nμ(d)=∑d∣nϕ(d)=∑d∣nμ(d)nd=(n==d)

\begin{align}n &= \sum_{d\mid n}\phi(d)\\\phi(n)&=\sum_{d\mid n}\mu(d)\frac nd\\\sum_{d\mid n}\mu(d) &=(n==d)\end{align}

线性筛

我们可以用线性筛法处理积性函数,简单的说就是用每次用合数最小质因子去筛掉它，这能保证O(n)O(n)的时间复杂度，详细的证明请见文末参考文献。可是对于和性的函数我们也可以这样晒去.

void monius(){cnt =0;mu[1] = 1;memset(prime,0,sizeof(prime));for(int i = 2 ; i<maxn ; ++i){if(!prime[i]){prime[cnt++] = i;mu[i] =-1;}for(int j=0 ; j<cnt && i*prime[j]<maxn ; ++j){prime[i*prime[j]] = 1;if(i%prime[j])mu[prime[j]*i] = -mu[i];else {mu[i*prime[j]] = 0;break;}}}sum_mu[0] = 0;for(int i=1 ; i<maxn ; ++i)sum_mu[i] = sum_mu[i-1]+mu[i];
}

void phi_table(){cnt =0;phi[1] = 0;memset(prime,0,sizeof(prime));for(int i = 2 ; i<maxn ; ++i){if(!prime[i]){prime[cnt++] = i;phi[i] =i-1;}for(int j=0 ; j<cnt && i*prime[j]<maxn ; ++j){prime[i*prime[j]] = 1;if(i%prime[j])phi[prime[j]*i] = phi[i]*(phi[prime[j]]);else {phi[i*prime[j]]= phi[i]*prime[j];break;}}}
}

分块求和

如果说计算式中出现了 ∑if(i)∗g(⌊(n/i)⌋)\sum_if(i)*g(\lfloor(n/i)\rfloor),则由于 ⌊ni⌋\lfloor\frac{n}{i}\rfloor的取值只有 O(n√)O(\sqrt n) 种显然我们可以运用分段求和(可以打印出这样的值来看一下)记录ff的前缀和，然后g就进行分段求和.
这是mobius中的常见的优化.

ll F(int n, int m, int d) {if (n > m) swap(n, m);ll ans = 0;n /= d, m /= d;for (int i = 1, last = 1; i <= n; i = last + 1) {last = min(n / (n / i), m / (m / i));ans += (ll)(sum[last] - sum[i - 1]) * (n / i) * (m / i);}return ans;
}

gcd相关

mobius最广的应用就是gcd相关的求和问题.

∑a≤N,b≤Mgcd(a,b)=1\sum_{a\le N,b\le M}gcd(a,b)=1

令f(d)=:gcd(a,b)=d的个数(a≤N,b≤M),F(d)=:d∣gcd(a,b)的个数f(d)=:gcd(a,b)=d的个数(a\le N,b\le M),F(d)=:d\mid gcd(a,b)的个数.显然有

F(d)F(d)f(d)=⌊N/d⌋∗⌊M/d⌋=∑d∣gcd(a,b)=nf(n)=∑d∣nμ(n/d)F(n)=∑x=1⌊N/d⌋u(x)F(dx)=∑x=1⌊N/d⌋u(x)⌊Ndx⌋∗⌊Mdx⌋

\begin{align} F(d) &= \lfloor N/d \rfloor*\lfloor M/d \rfloor \\ F(d)&=\sum_{d\mid gcd(a,b)=n}f(n)\\ f(d)&=\sum_{d\mid n}\mu(n/d)F(n)\\ &=\sum_{x=1}^{\lfloor N/d \rfloor}u(x)F(dx)\\ &=\sum_{x=1}^{\lfloor N/d \rfloor}u(x)\lfloor \frac {N}{dx}\rfloor*\lfloor \frac{M}{dx}\rfloor \end{align}
显然将d设为就是求解d为1的问题，同时，若d为1我们也可以将其转化为 ⌊N/d⌋,⌊M/d⌋ \lfloor N/d \rfloor,\lfloor M/d \rfloor规模下d=1的问题.,不过需要说明的问题是我们可以用分块求和这样就能在 n√\sqrt n的复杂度解决这个问题了.
例题:
2301
格点可视性问题

∑f(d)∑⌊N/d⌋d|nF(n)\sum f(d)\sum_{d|n}^{\lfloor N/d \rfloor}F(n)

这个就必修使用双分套分块求和以达到O(n)O(n)的复杂度了.
可以参考文献33.
例题:
能量采集

筛出每一个gcd(a,b)=d的个数 d=1,2,…,nd = 1,2,\dots ,n

这个题目不需要mobius也能解决，主要是筛法应用.
题目:
GCD of Sequence.

参考
从N往1，运用筛法O(nlgn)O(nlgn)

一个分块求和的例子

Mophues
这个题目就是用了分块求和，求出对于每一个计算⌊N/j⌋\lfloor N/j \rfloor的mobius贡献，再运用分块求和再n√\sqrt n处理询问.

参考文献:

贾智鹏线性筛
ACDreamer
sengxian’s blog

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