同余定理+前缀和解题技巧

思路

前缀和就不单独说了，同余定理贴一个百度百科

同余定理

数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。
转换成数学语言如下述所示

 /*假设有a,b,k三个数满足 a%k == b%k则 (a-b)%k == 0且为充要条件*/

题1

我们拿相关题目的第一题为例

代码实现

class Solution {public:int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {int count = 0;unordered_map<int,int> hash;hash[0] = 1;   //自身能被整除需要直接计数int cursum = 0;for(int i = 0;i<nums.size();i++){cursum += nums[i];int mod = (cursum%k+k)%k;if(hash.count(mod)) count += hash[mod];hash[mod]++;}return count;}
};

时间复杂度为O(n)，而暴力求解时间复杂度为O(n^2)

相关题目第2、3题主要就是在上述基础上添加了一些条件，可以再讲讲第三题

题3

代码实现

int solve(vector<int>& nums, int k) {int sum = accumulate(nums.begin(),nums.end(),0);int target = sum%k;unordered_map<int,int> hash;hash[0]=-1;int presum = 0;int minlen = nums.size();for(int i = 0;i<nums.size();i++){presum += nums[i]; //当前前缀和int mod = presum%k;hash[mod] = i;//去找有没有前缀和的余数和当前余数相等，有就返回长度if(hash.count((presum-target)%k)){minlen = min(minlen,i-hash[(presum-target)%k]);}}return minlen == nums.size() ? -1:minlen;  //cannot delete entire list
}

题2

今天做了一下那就加上来吧

代码

class Solution {public:bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int,int> hash;hash[0] = -1;int cursum = 0;for(int i = 0;i<nums.size();i++){cursum+=nums[i];int mod = cursum%k;//不能更新，只能加入if(hash.count(mod) && i-hash[mod]>1) return true;if(hash.count(mod) == 0) hash[mod] = i;}return false;}
};

这里的hash存储的是第一次出现新余数时的 i，意味着如果再次出现相同的mod，我们不能更新。因为这一题需要长度至少为2，意味着我们要让 i 和 j 的差值尽可能大。当再次出现相同余数时，比较 i 和 j 的插值，大于等于2即可返回true

后注

c++中负数取余规则是一律向0取余，那么当除数和被除数符号不相等时就会出现问题，例如

 int a = -1;int b = 2;cout << a % b;           //结果为-1cout <<(a % b + b) % b;  //结果为1

所以我们需要通过第二个公式来获得正确的余数

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同余定理

题1

代码实现

题3

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题2

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后注

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