分数傅里叶变换—

傅里叶变换的实质是：将信号表示为正弦信号的叠加，分数傅里叶变换的实质是将信号表示为Chirp信号的叠加。2000 年之后，与分数傅里叶变换相关的理论研究有了突飞猛进的发展，主要研究成果集中在数值计算、采样、滤波与参数估计、多域分析等领域。其中，高效准确的数值计算方法和采样理论为分数域数字信号处理提供了可能；分数域滤波与参数估计则是分数傅里叶变换在工程实践中得以应用的核心和基础；分数域介于时域和频域之间，因此可以对信号在多个分数域进行分析，为信号处理提供了多个视角。

定义及其性质

最常用的定义方式有两种：从积分变换角度和从特征角度

分数傅立叶变换的思想起源

傅里叶积分表达式：

除了积分表达形式之外还有一种定义方式是：

如果把一个傅里叶积分算子定义到Hermite特征函数上，就等于特征值e^(-jn(Π/2))乘以对应的特征函数，上面的这两函数是等价的。

不管是通过积分核的形式定义傅里叶变换还是特征函数的方式来定义傅里叶变换，对应的算子F（Π/2）都是一样的，其中对于傅里叶变换算子的特征值是e^(-jn(Π/2))。

推导基于特征函数表达式的定义

把傅里叶算子的特征值一般化一下，也就是将特征值e^(-jn(Π/2))变成e^(-jna),得到下面的式子：

如果一个算子满足上面的式子，那他的表达式是什么样的呢？

分数傅里叶变换的定义推导

对于傅里叶变换我们常见的表达式是这样的：

用上面的式子表示傅里叶变换的正变换和逆变换。就等介于右边的算子形式。

t表示的是时域变量，u表示的是变换域的变量。

假设我们定义这样的一个函数表达式，特征函数不变还是原来的特征函数：

如果满足上面形式的变化我们就称作是分数傅立叶变换算子，所以分数傅立叶变换最开始是基于特征函数的表达式提出来的。

推导基于积分核表达式的定义

再将这部分内容之前看一个背景知识：

对于任意的一个函数f(t)都可以表示为Hermite多项式的加权和，之所以可以这样表示是因为Hermite多项式构成类一组完备正交基。（对于任意一个函数必然可以被完备正交基进行表示）其中系数an表示为如下：类似于傅里叶当中系数的求解方式是一样的：

得出的结论就是分数傅里叶算子和Hermit函数密切相关，而对于任意一个函数，可以有由Hermit多项式进行表示。

如果被分数傅里叶算子作用在函数f(t)上，根据对应的形式能不能推导出积分核形式的定义。f（t）可以用Hermit多项式来表示。

解决上面图中的问题就是：当分数傅里叶算子作用在f(t)上时就等于特征值乘以对应的特征函数

从上面的结果看出接分号里面有求和操作，那这个求和操作能不能消除掉？需要一个非常著名的公式——Mehler公式，该公式的左边是求和形式，右边和号就没有了。

上面的推导过程是非常复杂的，可以进行进一步的化简。

FRFT积分核表示的推导：当a不等于Π/2时，最后会化简成什么样的形式

系数

经过上面的化简得到：

这个就是关于系数的化简。

接下来看一下ut项的化简

上面时ut项的系数化简。

接下来时t^2和u^2系数的化简：

u^2的系数和t^2的系数是一样的。

上面三个系数的化简已经完毕，比较复杂的分数傅里叶变换的积分核通过简化之后就得到了简单的分数傅里叶变换的形式。通过变换可以得出傅里叶变换在指数项有三项分别是t^2,u^2,ut。

三角部分是分数傅立叶变换和傅里叶变换不相同的地方。

分数傅立叶变换和傅里叶变换密切相关，在基于特征函数的定义里，他们的差异仅仅在特征值上。对于积分核的表达形式，分数傅里叶变换能不能退化到傅里叶变换，这个答案是显然的。

当取a＝Π/2时，cota=0,sina=1.最后的结果如下图表示：

总结：

基于傅立叶变换的定义，将他的特征值分数化之后，定义的算子为分数傅里叶变换，进而吧算子作用在一般函数上f(t),推导出来分数傅里叶变换基于积分核的形式定义，从而实现傅里叶变换到分数傅立叶变化的推广，同时分数傅里叶变换也可以退化到傅里叶变换。

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