一、二次规划

定义：某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数，约束条件又全是线性的。

1.matlab程序标准格式：

当： m i n 1 2 H x 2 + f x min \quad\frac{1}{2}Hx^2+fx min21Hx2+fx

注意x的二次项前系数“×1/2”， H实对称矩阵
简单来说，H矩阵中对角线为“2*原二次项系数”，其余为正常的一次项系数且对称

使用的标准格式代码为：

[x,fval] = quadprog(H,f,a,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

2.实例：
m i n 2 x 1 2 − 4 x 1 x 2 + 4 x 2 2 − 6 x 1 − 3 x 2 min\quad2x_1^2 -4x_1x_2+4x_2^2-6x_1-3x_2 min2x12−4x1x2+4x22−6x1−3x2
s.t.
{ x 1 + x 2 ≤ 3 4 x 1 + x 2 ≤ 9 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{cases} x_1+x_2≤3 \\ 4x_1+x_2≤9 \\ x_1,x_2≥0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+x2≤34x1+x2≤9x1,x2≥0

则程序中的矩阵及求解代码为：

h=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
a=[1,1;4,1];
b=[3;9];
[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

二、非线性规划

1.标准matlab程序代码

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x的返回值：决策向量x的取值
fval的返回值：目标函数的取值

fun：用M文件定义的函数
x0：x的初始值 %通常用rand函数进行随机rand(n,1)
A,b,Aeq,beq：定义线性约束 % 如果没有线性约束，则A=[],b=[],Aeq=[],beq=[]
lb,ub：变量x的下界和上界 %如果上界和下界没有约束，即x无下界也无上界，则lb=[]，ub=[]，也可以写成 lb的各分量都为-inf，ub的各分量都为inf
nonlcon：用M文件定义的非线性向量函数c(x),ceq(x)
options：定义优化参数，可以使用Matlab缺省的参数设置这里是引用

2.示例
m i n x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 8 min\quad x_1^2+x_2^2+x_3^2+8 minx12+x22+x32+8
s.t.
{ x 1 2 − x 2 + x 3 2 ≥ 0 x 1 + x 2 2 + x 3 2 ≤ 20 − x 1 − x 2 2 + 2 = 0 x 2 + 2 x 3 2 = 3 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \begin{cases}x_1^2-x_2+x_3^2≥0 \\ x_1+x_2^2+x_3^2≤20 \\ -x_1-x_2^2+2=0 \\ x_2+2x_3^2=3 \\ x_1,x_2,x_3≥0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x12−x2+x32≥0x1+x22+x32≤20−x1−x22+2=0x2+2x32=3x1,x2,x3≥0

主程序代码：

options=optimset('largescale','off');
[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], 'fun2', options)

新建m文件fun1.m，定义目标函数：

function f=fun1(x)
f=sum(x.^2)+8;

新建m文件fun2.m，定义非线性约束条件：

function [g,h]=fun2(x)
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 ；x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];  %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2  ；x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束

非线性不等式约束：矩阵中，全部改成“≤0”的形式
非线性等式约束：矩阵中，全部改成“=0”的形式

三、补充说明

当 x i x_i xi只能取0或1时，可使用限制条件： x i ( 1 − x i ) = 0 , i = 0 , 1 , 2 , 3... x_i(1-x_i)=0,i=0,1,2,3... xi(1−xi)=0,i=0,1,2,3...

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