1.1.3 数组——x的平方（Leetcode 69）

x的平方

1. 题目
2. 思路
3. 代码实现
4. 总结

1. 题目

leetcode链接
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的算术平方根。

由于返回类型是整数，结果只保留整数部分，小数部分将被舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2
示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

0 <= x <= 2³¹ - 1

2. 思路

因为只保留整数部分，所以ans 是满足 k² ≤ x 的最大 k 值

解法一：对数函数求平方根

【注意：返回值为浮点数，会产生精度问题】

解法二：二分法搜索k

解法三：牛顿迭代法

将题目转化成求解函数零点
牛顿迭代法的本质是借助泰勒级数，从初始值开始快速向零点逼近。
实现过程
实现细节

3. 代码实现

解法二：二分法搜索k

class Solution {public:int mySqrt(int x) {int left = 0;int right = x;int ans = -1;while(left <= right){int middle = left + (right - left) / 2;if((long long)middle*middle <= x){ans = middle; // 满足条件的k， 最后更新得到ansleft = middle + 1;}else{right = middle - 1;}}return ans;}};

复杂度分析

时间复杂度：O(logx)O(logx)O(logx)，即为二分查找需要的次数。
空间复杂度：O(1)O(1)O(1)

解法三：牛顿迭代法

class Solution {public:int mySqrt(int x) {if (x == 0) return 0;// 设置迭代初始值double x0 = x;double C = x;while(true){double x1 = 0.5 * (x0 + C/x0); // 根据公式得到下一个点x(i+1)if(fabs(x1 - x0) < 1e-7) break;x0 = x1; // 更新点xi}return int(x0);}};

复杂度分析

时间复杂度：O(logx)O(logx)O(logx)，此方法是二次收敛的，相较于二分查找更快。
空间复杂度：O(1)O(1)O(1)。

4. 总结

1. 溢出判断

(long long)middle*middle <= x

这里middle的取值范围为0 <= middle <= 2³¹ - 1，则0 <= middle * middle < 2⁶²
而int型变量的取值范围为2³¹ <= middle <= 2³¹
因为需要将变量类型转换为long

2. 已知直线斜率和直线上一点，直线方程的表达公式

3. abs()与fabs()

abs( )主要用于对求整数的绝对值，在“stdlib.h”(或 )头文件里面。
而fabs( )主要是求精度要求更高的double ，float 型的绝对值，在< cmath>头文件里。
两者在只#include< cmath>时都可以使用。

4. 订正数学习惯写法

 double x1 = 1/2 * (x0 + C/x0); // 根据公式得到下一个点x(i+1)

写成这种形式会一直循环下去，因为这里的1/2会得到0！

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