基与坐标系（阅读《理解矩阵》笔记）

假设线性子空间的基B={v1,v2,...,vk}, 此时B定义了一个坐标系。向量 a = v1c1+v2c2+...+vkck，那么它们的系数(c1,c2,...,ck)便称为向量a在坐标系B下的坐标。换句话说，坐标是向量在某组基下的表示。注意的是，坐标是一个点。

向量也称为矢量，是具有方向和大小的量。

如果一组向量彼此线性无关，那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系，其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为坐标轴的基本度量单位（长度为1）。

矩阵就是由一组向量组成的，如果矩阵非奇异的话，那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就可以成为度量线性空间的一个坐标系。那么也可以说，矩阵描述了一个坐标系。

同时，矩阵左乘表示对象的运动。那么可以说，固定坐标系下对象的变换等价于固定对象所处坐标系的坐标系变换。

Ma=b，可以解释为，一个向量在坐标系M的度量下得到的度量结果为向量a，它在单位矩阵坐标系I度量下的度量结果为b。I为单位矩阵，主对角线为1，其它元素为0的矩阵。

再次梳理一下，向量是客观存在的对象，单位要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它，然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量，选择的坐标系不同，其表示方式就不同。因此，按道理来说，每写出一个向量的表示，都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。

表示的方式，就是Ma，也就是说，有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a。我们平时说一个向量是[2 3 5 7]T，隐含着是说，这个向量在I坐标系中的度量结果是[2 3 5 7]T，因此，这个形式反而是一种简化了的特殊情况。

可以理解在坐标系下的度量结果，与单位坐标系I（等同于E）度量下的相同。

这个地方有一个疑问，既然矩阵描述一个坐标系，那么是什么坐标系呢？三维坐标系的格式不应该是这样的吗？

表示的是点（Px，Py）沿X和Y方向分别平移4个像素。

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