概率DP，递推（麻球繁殖，UVA 11021）

能想到是概率DP，但是定义状态dp[i][j]第i天剩j个麻球。然后麻球数量可能会繁殖到非常多，状态太多数组开不下，然后就不会了。

感觉自己总是轻易就放弃了，还是应该再思考一下，一般遇到这种想到DP但是数组开不下或者转移方程找不到或者转移方程太复杂的时候就应该想想可不可以优化，而不是直接就放弃。开不下就把状态定义得简单一些，看看是不是有哪些维是没必要记录，而只需要特别处理一下就好，或者重新开一个定义状态的思路。至于转移方程的问题我只能说首先状态定义要足够好，其次思路要再灵活一点。

本道题有一个特点就是每个麻球的繁殖是独立的，所以只要求出单个麻球的情况，然后再用公式算出总的情况。

具体就是说，定义状态dp[i]，表示一个麻雀在第i天全部死亡的概率。或者说i天后全部死亡的概率。

这样就有状态转移方程dp[i]=P0+P1*dp[i-1]^1+P2*dp[i-1]^2+P3*dp[i-1]^3+......P(n-1)*dp[i-1]^(n-1)。

Pj*dp[i-1]^j的意思就是这一个麻球第一天生了j个麻球，然后这j个麻球在剩下的i-1天全部死亡的概率，加起来就是答案。

递归边界是dp[0]=0。因为第一天一定有1个麻球。

答案是dp[m]^k。每个麻球的繁殖是独立的，根据乘法原理，全部乘起来就是答案。

可以用记忆化搜索实现。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1010
using namespace std;int n,k,m;
double P[maxn];
double f[maxn];
int vis[maxn];double mp(double x,int n)
{double ret=1;while(n){if(n&1) ret*=x;x*=x;n>>=1;}return ret;
}double d(int day)
{if(vis[day]) return f[day];vis[day]=true;double& ans=f[day]=0;if(!day) return ans=0;for(int i=0;i<n;i++)ans+=P[i]*pow(d(day-1),i);return ans;
}int main()
{int T;scanf("%d",&T);for(int t=1;t<=T;t++){scanf("%d %d %d",&n,&k,&m);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&P[i]);memset(vis,0,sizeof(vis));printf("Case #%d: %.7lf\n",t,pow(d(m),k));}return 0;
}

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